2016 AIME I 第 2 题

Question

两个骰子看起来都是标准骰子，面上标有

1

到

6

，但每个骰子都被加权，使得掷出数字

k

的概率与

k

成正比。用这一对骰子掷出和为

7

的概率为

\frac{m}{n}

，其中

m

和

n

是互质的正整数。求

m + n

。

Two dice appear to be standard dice with their faces numbered from

1

to

6,

but each die is weighted so that the probability of rolling the number

k

is directly proportional to

k.

The probability of rolling a

7

with this pair of dice is

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

答案

答案：71

知识点：骰子（概率）基本概率

难度评级：2080

小提示：

每个骰子掷出

k

的概率是

\frac{k}{21}

，因为

1 + 2 + \cdots + 6 = 21

On each die the probability of rolling

k

is

\frac{k}{21},

since

1 + 2 + \cdots + 6 = 21

大提示：

和为

7

的概率是

\sum_{k=1}^{6} \frac{k}{21} \cdot \frac{7 - k}{21}

The probability of a total of

7

is

\sum_{k=1}^{6} \frac{k}{21} \cdot \frac{7 - k}{21}

解答：

因为

1 + 2 + \cdots + 6 = 21

，每个骰子掷出

k

的概率为

\frac{k}{21}

。和为

7

来自数对

(k, 7-k)

，其中

k = 1, \ldots, 6

，所以这个概率是

\begin{aligned} &\scriptsize \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1}{21^2} \\ &= \frac{56}{441} = \frac{8}{63} \end{aligned}\text{。}

因此

m + n = 8 + 63 = 71

。

Since

1 + 2 + \cdots + 6 = 21,

each die rolls

k

with probability

\frac{k}{21}.

A total of

7

arises from the pairs

(k, 7-k)

for

k = 1, \ldots, 6,

so its probability is

\begin{aligned} &\scriptsize \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1}{21^2} \\ &= \frac{56}{441} = \frac{8}{63}. \end{aligned}

Thus

m + n = 8 + 63 = 71.

2016 AIME I 第 2 题

答案：71

难度评级：2080

小提示：

大提示：

解答：

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