Question

两个骰子看起来都是标准骰子，面上标有 $1$ 到 $6$ ，但每个骰子都被加权，使得掷出数字 $k$ 的概率与 $k$ 成正比。用这一对骰子掷出和为 $7$ 的概率为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

Two dice appear to be standard dice with their faces numbered from $1$ to $6,$ but each die is weighted so that the probability of rolling the number $k$ is directly proportional to $k.$ The probability of rolling a $7$ with this pair of dice is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：71

知识点：骰子（概率）基本概率

难度评级：2070

解答：

因为 $1 + 2 + \cdots + 6 = 21$ ，每个骰子掷出 $k$ 的概率为 $\frac{k}{21}$ 。和为 $7$ 来自数对 $(k, 7-k)$ ，其中 $k = 1, \ldots, 6$ ，所以这个概率是 $\begin{aligned} &\scriptsize \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1}{21^2} \\ &= \frac{56}{441} = \frac{8}{63}. \end{aligned}$

因此 $m + n = 8 + 63 = 71$ 。

Since $1 + 2 + \cdots + 6 = 21,$ each die rolls $k$ with probability $\frac{k}{21}.$ A total of $7$ arises from the pairs $(k, 7-k)$ for $k = 1, \ldots, 6,$ so its probability is $\begin{aligned} &\scriptsize \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1}{21^2} \\ &= \frac{56}{441} = \frac{8}{63}. \end{aligned}$

Thus $m + n = 8 + 63 = 71.$

2016 AIME I 第 2 题

答案：71

难度评级：2070

解答：

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