Question

正数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $xyz = 10^{81}$ ，且 $(\log_{10} x)(\log_{10} yz)$ $+ (\log_{10} y)(\log_{10} z) = 468$ 。求 $\small \sqrt{(\log_{10} x)^2 + (\log_{10} y)^2 + (\log_{10} z)^2}$ 。

Positive numbers $x,$ $y,$ and $z$ satisfy $xyz = 10^{81}$ and $(\log_{10} x)(\log_{10} yz)$ $+ (\log_{10} y)(\log_{10} z) = 468.$ Find $\small \sqrt{(\log_{10} x)^2 + (\log_{10} y)^2 + (\log_{10} z)^2}.$

答案

答案：75

知识点：对数代数变形

难度评级：2170

解答：

令 $a = \log_{10} x$ ， $b = \log_{10} y$ ， $c = \log_{10} z$ 。对 $xyz = 10^{81}$ 取对数，得到 $a + b + c = 81$ 。因为 $\log_{10} yz = b + c$ ，第二个条件为 $a(b + c) + bc = ab + ac + bc$ $= 468$ 。

将和平方， $\begin{aligned} a^2 + b^2 + c^2 &= (a + b + c)^2 \\ &\quad {}- 2(ab + ac + bc) \\ &= 81^2 - 2 \cdot 468 \\ &= 6561 - 936 \\ &= 5625, \end{aligned}$ 所求值为 $\sqrt{5625} = 75$ 。

Let $a = \log_{10} x,$ $b = \log_{10} y,$ and $c = \log_{10} z.$ Taking logs of $xyz = 10^{81}$ gives $a + b + c = 81.$ Since $\log_{10} yz = b + c,$ the second condition is $a(b + c) + bc = ab + ac + bc$ $= 468.$

Squaring the sum, $\begin{aligned} a^2 + b^2 + c^2 &= (a + b + c)^2 \\ &\quad {}- 2(ab + ac + bc) \\ &= 81^2 - 2 \cdot 468 \\ &= 6561 - 936 \\ &= 5625, \end{aligned}$ so the requested value is $\sqrt{5625} = 75.$

2010 AIME II 第 5 题

答案：75

难度评级：2170

解答：

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