Question

求除以 $1000$ 的余数。 $9 \cdot 99 \cdot 999 \cdot \cdots \cdot \underbrace{99\ldots9}_{\text{999 9's}}$

Find the remainder when $9 \cdot 99 \cdot 999 \cdot \cdots \cdot \underbrace{99\ldots9}_{\text{999 9's}}$ is divided by $1000.$

答案

答案：109

知识点：模运算找规律

难度评级：1950

解答：

在模 $1000$ 下计算。从第三个因子开始，每个因子末尾至少有三个 $9$ ，所以每个都 $\equiv -1 \pmod{1000}$ 。一共有 $999$ 个因子，因此其中 $997$ 个 $\equiv -1$ 。

所以乘积为因此余数是 $109$ 。 $\begin{aligned} &\equiv 9 \cdot 99 \cdot (-1)^{997} \\ &\equiv -891 \equiv 109 \pmod{1000}, \end{aligned}$

Work modulo $1000.$ Every factor from the third one on ends in at least three $9$ s, so each is $\equiv -1 \pmod{1000}.$ There are $999$ factors in all, hence $997$ of them are $\equiv -1.$

The product is therefore $\begin{aligned} &\equiv 9 \cdot 99 \cdot (-1)^{997} \\ &\equiv -891 \equiv 109 \pmod{1000}, \end{aligned}$ so the remainder is $109.$

2010 AIME I 第 2 题

答案：109

难度评级：1950

解答：

其他年份的第 2 题