Question

矩形 $ABCD$ 与以 $\overline{AB}$ 为直径的半圆共面，且内部不重叠。设 $\mathcal{R}$ 为由半圆和矩形围成的区域。直线 $\ell$ 分别在不同点 $N$ 、 $U$ 、 $T$ 处与半圆、线段 $\overline{AB}$ 、线段 $\overline{CD}$ 相交。直线 $\ell$ 将区域 $\mathcal{R}$ 分成面积比为 $1 : 2$ 的两个区域。已知 $AU = 84$ 、 $AN = 126$ 、 $UB = 168$ 。则 $DA$ 可表示为 $m\sqrt{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，且 $n$ 不被任何质数的平方整除。求 $m + n$ 。

Rectangle $ABCD$ and a semicircle with diameter $\overline{AB}$ are coplanar and have nonoverlapping interiors. Let $\mathcal{R}$ denote the region enclosed by the semicircle and the rectangle. Line $\ell$ meets the semicircle, segment $\overline{AB},$ and segment $\overline{CD}$ at distinct points $N,$ $U,$ and $T,$ respectively. Line $\ell$ divides region $\mathcal{R}$ into two regions with areas in the ratio $1 : 2.$ Suppose that $AU = 84,$ $AN = 126,$ and $UB = 168.$ Then $DA$ can be represented as $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

答案

答案：69

知识点：扇形面积分割相似

难度评级：3270

解答：

这里 $AB = 84 + 168 = 252$ ，所以半圆的圆心为 $O$ （ $\overline{AB}$ 的中点），半径为 $126$ 。由于 $AN = AO = ON = 126$ ，三角形 $AON$ 是等边三角形，所以 $\angle AON = 60^\circ$ ，扇形 $AON$ 正好是半圆的三分之一。同样地，若 $Q$ 为从 $U$ 到 $\overline{DC}$ 的垂足，则 $AU : UB = 1 : 2$ 使矩形 $AUQD$ 为矩形 $ABCD$ 的三分之一。

$\mathcal{R}$ 在 $\ell$ 的 $A$ 侧的部分等于（扇形 $AON$ ） $-$ $[NUO]$ $+$ （矩形 $AUQD$ ） $+$ $[UQT]$ 。由于这必须是 $\mathcal{R}$ 的三分之一，所以需要 $[NUO] = [UQT]$ 。设 $P$ 为从 $N$ 到 $\overline{AB}$ 的垂足。在 $30$ - $60$ - $90$ 三角形 $NOP$ 中， $OP = 63$ 、 $NP = 63\sqrt{3}$ ，所以 $UP = 84 - 63 = 21$ ，且 $UO = 126 - 84 = 42$ 。三角形 $NUP$ 与 $TUQ$ 是相似直角三角形（在 $U$ 处有对顶角），因此后一个等式成立，是因为这两个三角形都以 $NP$ 为高，底分别为 $UO$ 和 $UP$ 。 $\begin{aligned} \frac{[UQT]}{[NUP]} &= \left(\frac{UQ}{NP}\right)^2, \\ \frac{[NUO]}{[NUP]} &= \frac{UO}{UP} = 2, \end{aligned}$

令两个三角形面积相等，得 $\left(\frac{UQ}{NP}\right)^2 = 2$ ，所以因此 $m + n = 63 + 6 = 69$ 。 $\begin{aligned} DA = UQ &= NP\sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{6}, \end{aligned}$

Here $AB = 84 + 168 = 252,$ so the semicircle has center $O$ (the midpoint of $\overline{AB}$ ) and radius $126.$ Since $AN = AO = ON = 126,$ triangle $AON$ is equilateral, so $\angle AON = 60^\circ$ and sector $AON$ is exactly one third of the semicircle. Likewise, if $Q$ is the foot of the perpendicular from $U$ to $\overline{DC},$ then $AU : UB = 1 : 2$ makes rectangle $AUQD$ one third of rectangle $ABCD.$

The part of $\mathcal{R}$ on the $A$ -side of $\ell$ equals (sector $AON$ ) $-$ $[NUO]$ $+$ (rectangle $AUQD$ ) $+$ $[UQT].$ Since this must be one third of $\mathcal{R},$ we need $[NUO] = [UQT].$ Let $P$ be the foot of the perpendicular from $N$ to $\overline{AB}.$ In the $30$ - $60$ - $90$ triangle $NOP,$ $OP = 63$ and $NP = 63\sqrt{3},$ so $UP = 84 - 63 = 21$ and $UO = 126 - 84 = 42.$ Triangles $NUP$ and $TUQ$ are similar right triangles (vertical angles at $U$ ), so $\begin{aligned} \frac{[UQT]}{[NUP]} &= \left(\frac{UQ}{NP}\right)^2, \\ \frac{[NUO]}{[NUP]} &= \frac{UO}{UP} = 2, \end{aligned}$ the latter because both triangles have height $NP$ over bases $UO$ and $UP.$

Setting the two triangle areas equal gives $\left(\frac{UQ}{NP}\right)^2 = 2,$ so $\begin{aligned} DA = UQ &= NP\sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \\ &= 63\sqrt{6}, \end{aligned}$ and $m + n = 63 + 6 = 69.$

2010 AIME I 第 13 题

答案：69

难度评级：3270

解答：

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