Question

令 $\overline{MN}$ 为一个直径为 $1$ 的圆的一条直径。点 $A$ 和 $B$ 位于由 $\overline{MN}$ 确定的一个半圆弧上，其中 $A$ 是该半圆弧的中点，且 $MB = \frac{3}{5}$ 。点 $C$ 位于另一条半圆弧上。令 $d$ 为如下线段的长度：其端点分别是直径 $\overline{MN}$ 与弦 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BC}$ 的交点。 $d$ 的最大可能值可写成 $r - s\sqrt{t}$ 的形式，其中 $r$ 、 $s$ 、 $t$ 是正整数，且 $t$ 不被任何素数的平方整除。求 $r + s + t$ 。

Let $\overline{MN}$ be a diameter of a circle with diameter $1.$ Let $A$ and $B$ be points on one of the semicircular arcs determined by $\overline{MN}$ such that $A$ is the midpoint of the semicircle and $MB = \frac{3}{5}.$ Point $C$ lies on the other semicircular arc. Let $d$ be the length of the line segment whose endpoints are the intersections of diameter $\overline{MN}$ with the chords $\overline{AC}$ and $\overline{BC}.$ The largest possible value of $d$ can be written in the form $r - s\sqrt{t},$ where $r,$ $s,$ and $t$ are positive integers and $t$ is not divisible by the square of any prime. Find $r + s + t.$

答案

答案：14

知识点：圆内接四边形面积比算术-几何平均不等式最优化

难度评级：3370

解答：

设弦 $BC$ 和 $AC$ 分别与 $\overline{MN}$ 交于 $P$ 和 $Q$ ，并令 $x = \frac{CM}{CN}$ 。因为 $\angle MBN = 90^\circ$ （半圆所对的圆周角），且 $MB = \frac{3}{5}$ ，所以 $BN = \frac{4}{5}$ ；又有 $AM = AN = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。由于 $P$ 同时在 $MN$ 和 $BC$ 上，比值 $\frac{MP}{PN}$ 等于 $M$ 和 $N$ 到直线 $BC$ 的距离之比，也就是 $\frac{[BMC]}{[BNC]}$ 。在圆内接四边形 $MBNC$ 中，角 $BMC$ 和 $BNC$ 互补，所以它们的正弦相等，并且 $\begin{aligned} \frac{MP}{PN} &= \frac{BM \cdot MC}{BN \cdot NC} = \frac{3x}{4}, \\ \frac{MQ}{QN} &= \frac{AM \cdot MC}{AN \cdot NC} = x. \end{aligned}$

因为 $MN = 1$ ，由此得到 $MP = \frac{3x}{3x + 4}$ 和 $MQ = \frac{x}{x + 1}$ ，所以 $\begin{aligned} &d = MQ - MP \\ &= \frac{x}{x + 1} - \frac{3x}{3x + 4} \\ &= \frac{x}{3x^2 + 7x + 4} \\ &= \frac{1}{3x + \frac{4}{x} + 7}. \end{aligned}$

当 $C$ 在另一条半圆弧上变化时， $x$ 取遍所有正值。由 AM-GM， $3x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}$ ，等号在 $x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ 时成立。因此 $d$ 的最大值为 $\frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = 7 - 4\sqrt{3},$ 因为 $(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 1$ 。所以 $r + s + t = 7 + 4 + 3 = 14$ 。

Let chords $BC$ and $AC$ meet $\overline{MN}$ at $P$ and $Q,$ and set $x = \frac{CM}{CN}.$ Since $\angle MBN = 90^\circ$ (angle in a semicircle) and $MB = \frac{3}{5},$ we get $BN = \frac{4}{5};$ also $AM = AN = \frac{\sqrt{2}}{2}.$ Because $P$ lies on both $MN$ and $BC,$ the ratio $\frac{MP}{PN}$ equals the ratio of the distances from $M$ and $N$ to line $BC,$ i.e. $\frac{[BMC]}{[BNC]}.$ In cyclic quadrilateral $MBNC$ the angles $BMC$ and $BNC$ are supplementary, so their sines are equal and $\begin{aligned} \frac{MP}{PN} &= \frac{BM \cdot MC}{BN \cdot NC} = \frac{3x}{4}, \\ \frac{MQ}{QN} &= \frac{AM \cdot MC}{AN \cdot NC} = x. \end{aligned}$

Since $MN = 1,$ these give $MP = \frac{3x}{3x + 4}$ and $MQ = \frac{x}{x + 1},$ so $\begin{aligned} &d = MQ - MP \\ &= \frac{x}{x + 1} - \frac{3x}{3x + 4} \\ &= \frac{x}{3x^2 + 7x + 4} \\ &= \frac{1}{3x + \frac{4}{x} + 7}. \end{aligned}$

As $C$ ranges over the far semicircle, $x$ takes every positive value. By AM-GM, $3x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3},$ with equality at $x = \frac{2}{\sqrt{3}}.$ Hence the largest value of $d$ is $\frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = 7 - 4\sqrt{3},$ since $(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 1.$ Then $r + s + t = 7 + 4 + 3 = 14.$

2009 AIME II 第 15 题

答案：14

难度评级：3370

解答：

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