2009 AIME I 第 2 题

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2.

存在一个复数

z

，其虚部为

164

，并且存在一个正整数

n

，使得

\frac{z}{z + n} = 4i\text{。}

求

n

。

There is a complex number

z

with imaginary part

164

and a positive integer

n

such that

\frac{z}{z + n} = 4i.

Find

n.

答案

答案：697

知识点：复数代数变形

难度评级：2060

小提示：

令

z = a + 164i

，并去掉分母：

z = 4i(z + n)

。

Write

z = a + 164i

and clear the denominator:

z = 4i(z + n)

大提示：

展开

4i(z + n)

，分别比较实部和虚部，先求

a

，再求

n

。

Expand

4i(z + n)

and match real parts, then imaginary parts, to find

a

and then

n

解答：

令

z = a + 164i

。去掉分母，得

z = 4i(z + n)

，也就是

\begin{aligned} a + 164i &= 4i\,(a + n + 164i) \\ &= -656 + 4(a + n)i \end{aligned}\text{。}

比较实部得

a = -656

，比较虚部得

164 = 4(a + n)

，所以

a + n = 41

，从而

n = 41 + 656 = 697

。

Write

z = a + 164i.

Clearing the denominator gives

z = 4i(z + n),

that is,

\begin{aligned} a + 164i &= 4i\,(a + n + 164i) \\ &= -656 + 4(a + n)i. \end{aligned}

Real parts give

a = -656,

and imaginary parts give

164 = 4(a + n),

so

a + n = 41

and

n = 41 + 656 = 697.