Question

存在一个虚部为 $164$ 的复数 $z$ ，以及一个正整数 $n$ ，使得 $\frac{z}{z + n} = 4i.$ 求 $n$ 。

There is a complex number $z$ with imaginary part $164$ and a positive integer $n$ such that $\frac{z}{z + n} = 4i.$ Find $n.$

答案

答案：697

知识点：复数代数变形

难度评级：2060

解答：

写作 $z = a + 164i$ 。清除分母得 $z = 4i(z + n)$ ，也就是 $\begin{aligned} a + 164i &= 4i\,(a + n + 164i) \\ &= -656 + 4(a + n)i. \end{aligned}$

比较实部得 $a = -656$ ，比较虚部得 $164 = 4(a + n)$ ，所以 $a + n = 41$ ，从而 $n = 41 + 656 = 697$ 。

Write $z = a + 164i.$ Clearing the denominator gives $z = 4i(z + n),$ that is, $\begin{aligned} a + 164i &= 4i\,(a + n + 164i) \\ &= -656 + 4(a + n)i. \end{aligned}$

Real parts give $a = -656,$ and imaginary parts give $164 = 4(a + n),$ so $a + n = 41$ and $n = 41 + 656 = 697.$

2009 AIME I 第 2 题

答案：697

难度评级：2060

解答：

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