2007 AIME II 第 2 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

2.

求有序三元组

(a, b, c)

的个数，其中

a

、

b

、

c

是正整数，

a

是

b

的因数，

a

是

c

的因数，且

a + b + c = 100

。

Find the number of ordered triples

(a, b, c)

where

a,

b,

and

c

are positive integers,

a

is a factor of

b,

a

is a factor of

c,

and

a + b + c = 100.

答案

答案：200

知识点：整除性丢番图方程分类讨论

难度评级：2070

小提示：

因为

a

同时整除

b

和

c

，它也必须整除

a + b + c = 100

。

Since

a

divides both

b

and

c,

it must divide

a + b + c = 100

大提示：

令

b = as

且

c = at

：则

s + t = \frac{100}{a} - 1

，它有

\frac{100}{a} - 2

个正整数解。

Write

b = as

and

c = at:

then

s + t = \frac{100}{a} - 1,

which has

\frac{100}{a} - 2

positive solutions

解答：

因为

a

整除

b

和

c

，所以它整除

a + b + c = 100

。令

b = as

且

c = at

，其中

s, t \ge 1

；则

a(1 + s + t) = 100

，所以

s + t = \frac{100}{a} - 1\text{。}

对正整数

s

和

t

，需要

\frac{100}{a} \ge 3

，因而

a \in \{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25\}

。

对每个这样的

a

，方程

s + t = \frac{100}{a} - 1

有

\frac{100}{a} - 2

个有序正整数解。求和得

\begin{aligned} &\small (100 + 50 + 25 + 20 + 10 + 5 + 4) \\ &\quad {}- 2 \cdot 7 \\ &= 214 - 14 = 200 \end{aligned}\text{。}

Since

a

divides

b

and

c,

it divides

a + b + c = 100.

Write

b = as

and

c = at

with

s, t \ge 1;

then

a(1 + s + t) = 100,

so

s + t = \frac{100}{a} - 1.

For positive

s

and

t

we need

\frac{100}{a} \ge 3,

so

a \in \{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25\}.

For each such

a,

the equation

s + t = \frac{100}{a} - 1

has

\frac{100}{a} - 2

ordered positive solutions. Summing,

\begin{aligned} &\small (100 + 50 + 25 + 20 + 10 + 5 + 4) \\ &\quad {}- 2 \cdot 7 \\ &= 214 - 14 = 200. \end{aligned}