Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AB = 20$ 。该三角形的内切圆把包含 $C$ 的中线分成三段等长线段。已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $m\sqrt{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是整数，且 $n$ 不被任何质数的平方整除，求 $m + n$ 。

In $\triangle ABC,$ $AB = 20.$ The incircle of the triangle divides the median containing $C$ into three segments of equal length. Given that the area of $\triangle ABC$ is $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are integers and $n$ is not divisible by the square of any prime, find $m + n.$

答案

答案：38

知识点：圆幂内切圆、内心与内切圆半径中线（几何）海伦公式

难度评级：3270

解答：

令 $M$ 为 $\overline{AB}$ 的中点，内切圆在点 $S$ 和 $N$ 处截中线 $\overline{CM}$ ，且 $CS = SN = NM = \frac{1}{3}CM$ 。设内切圆分别在 $T$ 和 $R$ 处与 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 相切。由点的幂， $\begin{aligned} MT^2 &= MN \cdot MS \\ &= \frac{CM}{3} \cdot \frac{2\,CM}{3} \\ &= \frac{2}{9}CM^2, \\ CR^2 &= CS \cdot CN \\ &= \frac{2}{9}CM^2, \end{aligned}$ 所以 $MT = CR$ 。因为 $AR = AT$ （从 $A$ 引出的切线长相等），可得 $AC = AR + RC$ $= AT + TM$ $= AM = 10$ 。

记 $a = BC$ ，且 $s = \frac{20 + a + 10}{2} = 15 + \frac{a}{2}$ 。标准切线长给出 $AT = s - a$ ，所以 $MT = AM - AT$ $= 10 - \left(15 - \frac{a}{2}\right)$ $= \frac{a - 10}{2}$ ，而中线长公式给出 $CM^2 = \frac{2 \cdot 10^2 + 2a^2 - 20^2}{4} = \frac{a^2 - 100}{2}$ 。代入 $MT^2 = \frac{2}{9}CM^2$ ： $\begin{aligned} \frac{(a - 10)^2}{4} &= \frac{a^2 - 100}{9} \\ &\quad\Longrightarrow\quad 9(a - 10) \\ &= 4(a + 10) \\ &\quad\Longrightarrow\quad a = 26. \end{aligned}$

因此三边为 $20$ ， $26$ ， $10$ ，且 $s = 28$ ，由海伦公式， $\begin{aligned} [ABC] &= \sqrt{28 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 18} \\ &= \sqrt{8064} = 24\sqrt{14}, \end{aligned}$ 所以 $m + n = 24 + 14 = 38$ 。

Let $M$ be the midpoint of $\overline{AB},$ and let the incircle cut median $\overline{CM}$ at $S$ and $N,$ with $CS = SN = NM = \frac{1}{3}CM.$ Let the incircle touch $\overline{AB}$ at $T$ and $\overline{AC}$ at $R.$ By Power of a Point, $\begin{aligned} MT^2 &= MN \cdot MS \\ &= \frac{CM}{3} \cdot \frac{2\,CM}{3} \\ &= \frac{2}{9}CM^2, \\ CR^2 &= CS \cdot CN \\ &= \frac{2}{9}CM^2, \end{aligned}$ so $MT = CR.$ Since $AR = AT$ (tangents from $A$ ), we get $AC = AR + RC$ $= AT + TM$ $= AM = 10.$

Write $a = BC$ and $s = \frac{20 + a + 10}{2} = 15 + \frac{a}{2}.$ The standard tangent length gives $AT = s - a,$ so $MT = AM - AT$ $= 10 - \left(15 - \frac{a}{2}\right)$ $= \frac{a - 10}{2},$ while the median length formula gives $CM^2 = \frac{2 \cdot 10^2 + 2a^2 - 20^2}{4} = \frac{a^2 - 100}{2}.$ Substituting into $MT^2 = \frac{2}{9}CM^2:$ $\begin{aligned} \frac{(a - 10)^2}{4} &= \frac{a^2 - 100}{9} \\ &\quad\Longrightarrow\quad 9(a - 10) \\ &= 4(a + 10) \\ &\quad\Longrightarrow\quad a = 26. \end{aligned}$

Then the sides are $20,$ $26,$ $10$ with $s = 28,$ and Heron's formula gives $\begin{aligned} [ABC] &= \sqrt{28 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 18} \\ &= \sqrt{8064} = 24\sqrt{14}, \end{aligned}$ so $m + n = 24 + 14 = 38.$

2005 AIME I 第 15 题

答案：38

难度评级：3270

解答：

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