Question

小于 $10{,}000$ 的正整数中，有多少个至多含有两种不同的数字？

How many positive integers less than $10{,}000$ have at most two different digits?

答案

答案：927

难度评级：2300

解答：

共有 $99$ 个小于 $100$ 的正整数，它们都符合条件。符合条件的 $3$ 位数要么是各位相同的数（共 $9$ 个），要么使用首位数字 $a \ge 1$ 和另一个数字 $b \ne a$ ，且第二种数字出现在后两位的某个非空位置集合中。这样的模式有 $2^2 - 1 = 3$ 种，每种有 $9 \cdot 9$ 种取值（ $a$ 有 $9$ 种选择， $b$ 也有 $9$ 种），所以三位数共有 $9 + 3 \cdot 81 = 252$ 个。

同理，符合条件的 $4$ 位数要么是各位相同的数（共 $9$ 个），要么让 $b \ne a$ 出现在后三位的某个非空位置集合中；这样的模式有 $2^3 - 1 = 7$ 种，每种有 $9 \cdot 9$ 种数字取法，所以四位数共有 $9 + 7 \cdot 81 = 576$ 个。

总数为 $99 + 252 + 576 = 927$ 。

All $99$ positive integers below $100$ qualify. A qualifying $3$ -digit number is either a repdigit ( $9$ of them) or uses a leading digit $a \ge 1$ together with a second value $b \ne a$ in some of the last two positions: $2^2 - 1 = 3$ patterns, each realized in $9 \cdot 9$ ways ( $9$ choices for $a,$ then $9$ for $b$ ), for $9 + 3 \cdot 81 = 252$ numbers.

Similarly a qualifying $4$ -digit number is a repdigit ( $9$ ) or has $b \ne a$ appearing in a nonempty subset of the last three positions: $2^3 - 1 = 7$ patterns, each in $9 \cdot 9$ ways, for $9 + 7 \cdot 81 = 576$ numbers.

The total is $99 + 252 + 576 = 927.$

2004 AIME II 第 4 题

答案：927

难度评级：2300

解答：

其他年份的第 4 题