Question

设 $N$ 是最大的 $8$ 的整数倍，且其任意两个数位都不相同。 $N$ 除以 $1000$ 的余数是多少？

Let $N$ be the greatest integer multiple of $8,$ no two of whose digits are the same. What is the remainder when $N$ is divided by $1000?$

答案

答案：120

知识点：整除性数字

难度评级：1970

解答：

一个整数能被 $8$ 整除，当且仅当它的最后三位组成的数能被 $8$ 整除。为了使 $N$ 尽可能大，应该把十个数字各用一次，并把最大的数字放在最前面：前面的数位是 $9876543$ ，最后三位是 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 的某种排列，前提是其中有排列能被八整除。

检查 $012$ 、 $021$ 、 $102$ 、 $120$ 、 $201$ 、 $210$ ，只有 $120$ 是 $8$ 的倍数。因此 $N = 9{,}876{,}543{,}120$ ，除以 $1000$ 的余数为 $120$ 。

An integer is divisible by $8$ exactly when the number formed by its last three digits is. To make $N$ as large as possible, use all ten digits once each and put the largest digits first: the leading digits are $9876543,$ and the final three digits are some arrangement of $0,$ $1,$ $2$ — provided one of those arrangements is a multiple of $8.$

Checking $012,$ $021,$ $102,$ $120,$ $201,$ $210,$ the only multiple of $8$ is $120.$ So $N = 9{,}876{,}543{,}120,$ and the remainder upon division by $1000$ is $120.$

2003 AIME II 第 2 题

答案：120

难度评级：1970

解答：

其他年份的第 2 题