Question

已知 $\log_{10} \sin x + \log_{10} \cos x = -1$ ，且 $\log_{10}(\sin x + \cos x)$ $= \frac{1}{2}(\log_{10} n - 1)$ ，求 $n$ 。

Given that $\log_{10} \sin x + \log_{10} \cos x = -1$ and that $\log_{10}(\sin x + \cos x)$ $= \frac{1}{2}(\log_{10} n - 1),$ find $n.$

答案

答案：12

知识点：对数三角恒等式

难度评级：1990

解答：

第一个等式说明 $\log_{10}(\sin x \cos x) = -1$ ，所以 $\sin x \cos x = \frac{1}{10}$ 。因此 $\begin{aligned} (\sin x + \cos x)^2 &= \sin^2 x + \cos^2 x \\ &\quad {}+ 2 \sin x \cos x \\ &= 1 + \frac{2}{10} = \frac{12}{10}. \end{aligned}$

取对数得 $2\log_{10}(\sin x + \cos x)$ $= \log_{10} \frac{12}{10}$ $= \log_{10} 12 - 1$ ，所以 $\log_{10}(\sin x + \cos x)$ $= \frac{1}{2}(\log_{10} 12 - 1)$ ，从而 $n = 12$ 。

The first equation says $\log_{10}(\sin x \cos x) = -1,$ so $\sin x \cos x = \frac{1}{10}.$ Then $\begin{aligned} (\sin x + \cos x)^2 &= \sin^2 x + \cos^2 x \\ &\quad {}+ 2 \sin x \cos x \\ &= 1 + \frac{2}{10} = \frac{12}{10}. \end{aligned}$

Taking logarithms, $2\log_{10}(\sin x + \cos x)$ $= \log_{10} \frac{12}{10}$ $= \log_{10} 12 - 1,$ so $\log_{10}(\sin x + \cos x)$ $= \frac{1}{2}(\log_{10} 12 - 1)$ and $n = 12.$

2003 AIME I 第 4 题

答案：12

难度评级：1990

解答：

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