2002 AIME I 第 4 题

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4.

考虑由

a_k = \frac{1}{k^2 + k}

（

k \ge 1

）定义的数列。已知

a_m + a_{m+1} + \cdots + a_{n-1} = \frac{1}{29}

，其中正整数

m

和

n

满足

m \lt n

。求

m + n

。

Consider the sequence defined by

a_k = \frac{1}{k^2 + k}

for

k \ge 1.

Given that

a_m + a_{m+1} + \cdots + a_{n-1} = \frac{1}{29},

for positive integers

m

and

n

with

m \lt n,

find

m + n.

答案

答案：840

知识点：裂项相消部分分式丢番图方程

难度评级：2110

小提示：

\frac{1}{k^2 + k} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}

，所以和会裂项相消为

\frac{1}{m} - \frac{1}{n}

。

\frac{1}{k^2 + k} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1},

so the sum telescopes to

\frac{1}{m} - \frac{1}{n}

大提示：

清分母并因式分解：

(29 - m)(29 + n) = 29^2

，再利用

29

是质数。

Clear denominators and factor:

(29 - m)(29 + n) = 29^2,

then use that

29

is prime

解答：

因为

\frac{1}{k^2 + k} = \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}

，所以该和裂项相消：

\begin{aligned} &a_m + a_{m+1} + \cdots + a_{n-1} \\ &= \frac{1}{m} - \frac{1}{n} \\ &= \frac{1}{29} \end{aligned}\text{。}

两边乘以

29mn

，得

29n - 29m = mn

，整理为

(29 - m)(29 + n) = 29^2

。由于

29

是质数且

29 + n \gt 29

，在

m

为正整数时唯一的分解是

29 - m = 1

、

29 + n = 841

，所以

m = 28

、

n = 812

。

因此

m + n = 28 + 812 = 840

。

Since

\frac{1}{k^2 + k} = \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1},

the sum telescopes:

\begin{aligned} &a_m + a_{m+1} + \cdots + a_{n-1} \\ &= \frac{1}{m} - \frac{1}{n} \\ &= \frac{1}{29}. \end{aligned}

Multiplying through by

29mn

gives

29n - 29m = mn,

which rearranges to

(29 - m)(29 + n) = 29^2.

Since

29

is prime and

29 + n \gt 29,

the only factorization with

m

a positive integer is

29 - m = 1

and

29 + n = 841,

so

m = 28

and

n = 812.

Therefore

m + n = 28 + 812 = 840.