Question

一个由互不相同实数组成的有限集合 $\mathcal{S}$ 满足如下性质： $\mathcal{S} \cup \{1\}$ 的平均数比 $\mathcal{S}$ 的平均数小 $13$ ，而 $\mathcal{S} \cup \{2001\}$ 的平均数比 $\mathcal{S}$ 的平均数大 $27$ 。求 $\mathcal{S}$ 的平均数。

A finite set $\mathcal{S}$ of distinct real numbers has the following properties: the mean of $\mathcal{S} \cup \{1\}$ is $13$ less than the mean of $\mathcal{S},$ and the mean of $\mathcal{S} \cup \{2001\}$ is $27$ more than the mean of $\mathcal{S}.$ Find the mean of $\mathcal{S}.$

答案

答案：651

知识点：平均数方程组

难度评级：1840

解答：

设 $\mathcal{S}$ 有 $n$ 个元素，平均数为 $x$ ，则元素总和为 $nx$ 。两个条件分别为和 $\frac{nx + 1}{n + 1} = x - 13$ $\frac{nx + 2001}{n + 1} = x + 27.$

清除分母， $nx + 1 = (n+1)x - 13(n+1)$ 给出 $x - 13(n+1) = 1$ ，而 $nx + 2001$ $= (n+1)x + 27(n+1)$ 给出 $x + 27(n+1) = 2001$ 。第二式减第一式得 $40(n+1) = 2000$ ，所以 $n + 1 = 50$ 。

因此 $x = 1 + 13 \cdot 50 = 651$ 。

Let $\mathcal{S}$ have $n$ elements with mean $x,$ so the elements sum to $nx.$ The two conditions say $\frac{nx + 1}{n + 1} = x - 13$ and $\frac{nx + 2001}{n + 1} = x + 27.$

Clearing denominators, $nx + 1 = (n+1)x - 13(n+1)$ gives $x - 13(n+1) = 1,$ and $nx + 2001$ $= (n+1)x + 27(n+1)$ gives $x + 27(n+1) = 2001.$ Subtracting the first equation from the second yields $40(n+1) = 2000,$ so $n + 1 = 50.$

Then $x = 1 + 13 \cdot 50 = 651.$

2001 AIME I 第 2 题

答案：651

难度评级：1840

解答：

其他年份的第 2 题