Question

有六个正奇因子和十二个正偶因子的最小正整数是多少？

What is the smallest positive integer with six positive odd integer divisors and twelve positive even integer divisors?

答案

答案：180

难度评级：2070

解答：

写成 $N = 2^a m$ ，其中 $m$ 是奇数。 $N$ 的奇因子正好是 $m$ 的因子，所以 $d(m) = 6$ 。每个偶因子都是 $2^k$ （ $1 \le k \le a$ ）乘以一个奇因子，因此偶因子数为 $a \cdot d(m) = 6a$ 。由 $6a = 12$ 得 $a = 2$ 。

因此 $N = 4m$ ，其中 $m$ 是恰有 $6$ 个因子的最小奇数。可能的形式是 $p^5$ （最小为 $3^5 = 243$ ）或 $p^2 q$ （最小为 $3^2 \cdot 5 = 45$ ），所以 $m = 45$ ， $N = 4 \cdot 45 = 180$ 。

Write $N = 2^a m$ with $m$ odd. The odd divisors of $N$ are exactly the divisors of $m,$ so $d(m) = 6.$ Every even divisor is $2^k$ (for $1 \le k \le a$ ) times an odd divisor, so there are $a \cdot d(m) = 6a$ of them, and $6a = 12$ gives $a = 2.$

So $N = 4m$ where $m$ is the smallest odd number with exactly $6$ divisors. The shapes are $p^5$ (smallest $3^5 = 243$ ) and $p^2 q$ (smallest $3^2 \cdot 5 = 45$ ), so $m = 45$ and $N = 4 \cdot 45 = 180.$

2000 AIME II 第 4 题

答案：180

难度评级：2070

解答：

其他年份的第 4 题