Question

一个 $8 \times 8$ 棋盘上的九条横线和九条竖线共形成 $r$ 个矩形，其中有 $s$ 个是正方形。分数 $s/r$ 可以写成 $m/n$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

The nine horizontal and nine vertical lines on an $8 \times 8$ checkerboard form $r$ rectangles, of which $s$ are squares. The number $s/r$ can be written in the form $m/n,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：125

知识点：图形中的形状计数组合前n项平方和

难度评级：1890

解答：

一个矩形由选取两条横线和两条竖线决定，所以 $r = \binom{9}{2}^2 = 36^2 = 1296$ 。

一个 $k \times k$ 的正方形可以放在 $(9 - k)^2$ 个位置，因此 $\begin{aligned} s &= \sum_{k=1}^{8} (9 - k)^2 \\ &= 8^2 + 7^2 + \cdots + 1^2 \\ &= \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = 204. \end{aligned}$

所以 $\frac{s}{r} = \frac{204}{1296} = \frac{17}{108}$ ，已经是最简分数，于是 $m + n = 17 + 108 = 125$ 。

A rectangle is determined by choosing two of the nine horizontal lines and two of the nine vertical lines, so $r = \binom{9}{2}^2 = 36^2 = 1296.$

A $k \times k$ square can be placed in $(9 - k)^2$ positions, so $\begin{aligned} s &= \sum_{k=1}^{8} (9 - k)^2 \\ &= 8^2 + 7^2 + \cdots + 1^2 \\ &= \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = 204. \end{aligned}$

Then $\frac{s}{r} = \frac{204}{1296} = \frac{17}{108},$ which is in lowest terms, so $m + n = 17 + 108 = 125.$

1997 AIME 第 2 题

答案：125

难度评级：1890

解答：

其他年份的第 2 题