1997 AIME 第 2 题

Question

一个

8 \times 8

棋盘上的九条横线和九条竖线共形成

r

个矩形，其中有

s

个是正方形。分数

\frac{s}{r}

可以写成

\frac{m}{n}

的形式，其中

m

和

n

是互质的正整数。求

m + n

。

The nine horizontal and nine vertical lines on an

8 \times 8

checkerboard form

r

rectangles, of which

s

are squares. The number

\frac{s}{r}

can be written in the form

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

答案

答案：125

知识点：图形中的形状计数组合前n项平方和

难度评级：1890

小提示：

一个矩形由从

9

条横线中选

2

条、从

9

条竖线中选

2

条决定

A rectangle is determined by choosing

2

of the

9

horizontal lines and

2

of the

9

vertical lines

大提示：

k \times k

的正方形有

(9 - k)^2

个；将

k = 1

到

8

的情形相加

There are

(9 - k)^2

squares of size

k \times k;

sum over

k = 1

to

8

解答：

一个矩形由选取两条横线和两条竖线决定，所以

r = \binom{9}{2}^2 = 36^2 = 1296

。

一个

k \times k

的正方形可以放在

(9 - k)^2

个位置，因此

\begin{aligned} s &= \sum_{k=1}^{8} (9 - k)^2 \\ &= 8^2 + 7^2 + \cdots + 1^2 \\ &= \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = 204 \end{aligned}\text{。}

所以

\frac{s}{r} = \frac{204}{1296} = \frac{17}{108}

，已经是最简分数，于是

m + n = 17 + 108 = 125

。

A rectangle is determined by choosing two of the nine horizontal lines and two of the nine vertical lines, so

r = \binom{9}{2}^2 = 36^2 = 1296.

A

k \times k

square can be placed in

(9 - k)^2

positions, so

\begin{aligned} s &= \sum_{k=1}^{8} (9 - k)^2 \\ &= 8^2 + 7^2 + \cdots + 1^2 \\ &= \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = 204. \end{aligned}

Then

\frac{s}{r} = \frac{204}{1296} = \frac{17}{108},

which is in lowest terms, so

m + n = 17 + 108 = 125.

1997 AIME 第 2 题

答案：125

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

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