Question

对于某些实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ ，方程 $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ 有四个非实根。其中两个根的乘积为 $13+i$ ，另外两个根的和为 $3+4i$ ，这里 $i=\sqrt{-1}$ 。求 $b$ 。

For certain real values of $a,$ $b,$ $c,$ and $d,$ the equation $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ has four non-real roots. The product of two of these roots is $13+i$ and the sum of the other two roots is $3+4i,$ where $i=\sqrt{-1}.$ Find $b.$

答案

答案：51

知识点：复数韦达定理多项式

难度评级：2110

小提示：

由于多项式的系数为实数，它的非实根成共轭对出现

Because the polynomial has real coefficients, its non-real roots occur in conjugate pairs

大提示：

将六个根的两两乘积分成两组内部的乘积和四个交叉乘积

Group the six pairwise products into the products within the two groups and the four cross-products

解答：

设前两个根为 $\alpha$ 和 $\beta$ 。由于 $\alpha\beta=13+i$ 不是实数，它们不是一对共轭根，所以另外两个根为 $\overline\alpha$ 和 $\overline\beta$ 。因此 $\alpha+\beta=3-4i$ ，且 $\overline\alpha\,\overline\beta=13-i$ 。由韦达定理， $\begin{aligned}b&=\alpha\beta+\overline\alpha\,\overline\beta\\&\quad+(3-4i)(3+4i)\\&=26+25=51\end{aligned}\text{。}$

Let the first two roots be $\alpha$ and $\beta.$ Since $\alpha\beta=13+i$ is not real, they are not conjugates, so the other roots are $\overline\alpha$ and $\overline\beta.$ Hence $\alpha+\beta=3-4i$ and $\overline\alpha\,\overline\beta=13-i.$ By Vieta’s formulas, $\begin{aligned}b&=\alpha\beta+\overline\alpha\,\overline\beta\\&\quad+(3-4i)(3+4i)\\&=26+25=51.\end{aligned}$

1995 AIME 第 5 题

答案：51

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 5 题