Question

多项式 $1-x+x^2-x^3+\cdots$ ${}+x^{16}-x^{17}$ 可写成 $\begin{aligned} &a_0+a_1y+a_2y^2+\cdots\\ &\qquad{}+a_{16}y^{16}+a_{17}y^{17} \end{aligned}\text{，}$ 其中 $y=x+1$ ，且各 $a_i$ 为常数。求 $a_2$ 。

The polynomial $1-x+x^2-x^3+\cdots$ ${}+x^{16}-x^{17}$ may be written in the form $\begin{aligned} &a_0+a_1y+a_2y^2+\cdots\\ &\qquad{}+a_{16}y^{16}+a_{17}y^{17}, \end{aligned}$ where $y=x+1$ and the $a_i$ ’s are constants. Find $a_2.$

答案

答案：816

知识点：二项式定理组合多项式

难度评级：2300

小提示：

展开前先代入 $x=y-1$

Substitute $x=y-1$ before expanding

大提示：

只求各次幂中 $y^2$ 的系数，并使用曲棍球杆恒等式

Find only the coefficient of $y^2$ in each power and use the hockey-stick identity

解答：

该多项式为 $\sum_{k=0}^{17}(-x)^k$ 。由于 $x=y-1$ ，它化为 $\sum_{k=0}^{17}(1-y)^k\text{。}$ 当 $k\geq2$ 时， $(1-y)^k$ 中 $y^2$ 的系数为 $\binom{k}{2}$ 。因此 $a_2=\sum_{k=2}^{17}\binom{k}{2} =\binom{18}{3}=816\text{。}$

The polynomial is $\sum_{k=0}^{17}(-x)^k.$ Since $x=y-1,$ this becomes $\sum_{k=0}^{17}(1-y)^k.$ For $k\geq2,$ the coefficient of $y^2$ in $(1-y)^k$ is $\binom{k}{2}.$ Hence $a_2=\sum_{k=2}^{17}\binom{k}{2} =\binom{18}{3}=816.$

1986 AIME 第 11 题

答案：816

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题