Question

Cuando se multiplican tres enteros positivos $a,$ $b,$ y $c$ , su producto es $100.$ Supón que $a < b < c.$ ¿De cuántas maneras se pueden elegir los números?

When three positive integers $a,$ $b,$ and $c$ are multiplied together, their product is $100.$ Suppose $a < b < c.$ In how many ways can the numbers be chosen?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución:

Como $a< b< c$ y $abc=100$ , tenemos $a^3<100$ , así que $a\le4$ . Además, $a$ debe dividir a $100$ , por lo que $a\in\{1,2,4\}$ .

Si $a=1$ , los pares $(b,c)$ son $(2,50),(4,25),(5,20)$ . Si $a=2$ , el único par posible es $(5,10)$ . Si $a=4$ , entonces $bc=25$ , y no hay ningún entero $b$ con $4< b< c$ .

Hay $4$ tripletas posibles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $a< b< c$ and $abc=100$ , we have $a^3<100$ , so $a\le4$ . Also $a$ must divide $100$ , so $a\in\{1,2,4\}$ .

If $a=1$ , the pairs $(b,c)$ are $(2,50),(4,25),(5,20)$ . If $a=2$ , the only possible pair is $(5,10)$ . If $a=4$ , then $bc=25$ , and there is no integer $b$ with $4< b< c$ .

There are $4$ possible triples.

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 8 Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años