2018 AMC 8 Problema 5

Intenta el Problema 5 del 2018 AMC 8 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución en video y solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 8, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

5.

¿Cuál es el valor de 1+3+5+⋯+2017+2019−2−4−6−⋯−2016−2018?\begin{align*} &1+3+5+\cdots+2017+2019 \\ -&2-4-6-\cdots-2016-2018? \end{align*}
What is the value of 1+3+5+⋯+2017+2019−2−4−6−⋯−2016−2018?\begin{align*} &1+3+5+\cdots+2017+2019 \\ -&2-4-6-\cdots-2016-2018? \end{align*}
−1010 -1010
−1009 -1009
1008 1008
1009 1009
1010 1010
Respuesta: E
Conceptos:sucesión aritméticaemparejamiento y agrupación
Pista pequeña:
Empareja cada número impar positivo después de 11 con el número par que está justo antes de él.
Pair each positive odd number after 11 with the even number just before it.
Pista grande:
Cuenta cuántos 11 quedan después de emparejar.
Count how many 11’s remain after pairing.
Solución en video:
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Solución escrita:
Reordenando los términos, la expresión es 1+(3−2)+(5−4)+⋯+(2017−2016)+(2019−2018).\begin{align*}&1 + (3-2) + (5-4) + \cdots +\\ &(2017-2016) + (2019-2018). \end{align*} Cada término es igual a 1,1, y hay 2019−12+1=1010\frac{2019-1}2+1 = 1010 términos, así que la suma total es 1010⋅1=1010.1010\cdot1 = 1010.
Así, E es la respuesta correcta.
Rearranging the terms, notice that the expression in the question is equal to: 1+(3−2)+(5−4)+⋯+(2017−2016)+(2019−2018).\begin{align*}&1 + (3-2) + (5-4) + \cdots +\\ &(2017-2016) + (2019-2018). \end{align*} Each term is equal to 1,1, and there are 2019−12+1=1010\frac{2019-1}2+1 = 1010 terms, so the total sum is 1010⋅1=1010.1010\cdot1 = 1010.
Thus, E is the correct answer.
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