Question

在一个圆上标出 $20$ 个不同的点，并按顺时针顺序标号为 $1$ 到 $20$ 。若两点标号之差为质数，就在这两点之间画一条线段。求以原来的二十个点为顶点形成的三角形个数。

Twenty distinct points are marked on a circle and labeled $1$ through $20$ in clockwise order. A line segment is drawn between every pair of points whose labels differ by a prime number. Find the number of triangles formed whose vertices are among the original $20$ points.

答案

答案：72

知识点：质数奇偶性分类讨论

难度评级：2400

解答：

一个三角形的顶点为 $i \lt j \lt k$ ，其中 $j - i$ 、 $k - j$ ，和 $k - i$ 都是质数。因为 $k - i = (j - i) + (k - j)$ 是两个质数之和且本身也是质数，而两个奇质数之和为偶数，所以两个较小的差中必有一个等于 $2$ 。因此两个较小的差按某种顺序为 $\{2, p\}$ ，其中 $p$ 和 $p + 2$ 都是质数；满足 $p + 2 \le 19$ 的孪生质数对为 $(3, 5)$ 、 $(5, 7)$ 、 $(11, 13)$ ，和 $(17, 19)$ 。

对每一对，居中的顶点可以离最小顶点距离 $2$ ，也可以离最小顶点距离 $p$ ，总跨度为 $p + 2$ ，所以有 $2\bigl(20 - (p + 2)\bigr)$ 个三角形。四对分别给出 $2 \cdot 15 = 30$ 、 $2 \cdot 13 = 26$ 、 $2 \cdot 7 = 14$ ，和 $2 \cdot 1 = 2$ 。

总数为 $30 + 26 + 14 + 2 = 72$ 。

A triangle has vertices $i \lt j \lt k$ where $j - i,$ $k - j,$ and $k - i$ are all prime. Since $k - i = (j - i) + (k - j)$ is a prime that is a sum of two primes, and the sum of two odd primes is even, one of the two smaller differences must equal $2.$ So the differences are $\{2, p\}$ in some order with $p$ and $p + 2$ both prime: the twin prime pairs with $p + 2 \le 19$ are $(3, 5),$ $(5, 7),$ $(11, 13),$ and $(17, 19).$

For each pair, the middle vertex can be at distance $2$ or at distance $p$ from the smallest, and the total span is $p + 2,$ so there are $2\bigl(20 - (p + 2)\bigr)$ triangles. This gives $2 \cdot 15 = 30,$ $2 \cdot 13 = 26,$ $2 \cdot 7 = 14,$ and $2 \cdot 1 = 2$ for the four pairs.

The total is $30 + 26 + 14 + 2 = 72.$

2022 AIME II 第 5 题

答案：72

难度评级：2400

解答：

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