Question

存在实数 $a, b, c$ ，和 $d$ ，使得 $-20$ 是 $x^3 + ax + b$ 的一个根，且 $-21$ 是 $x^3 + cx^2 + d$ 的一个根。这两个多项式共有一个复根 $m + \sqrt{n} \cdot i$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，且 $i = \sqrt{-1}$ 。求 $m + n$ 。

There are real numbers $a, b, c,$ and $d$ such that $-20$ is a root of $x^3 + ax + b$ and $-21$ is a root of $x^3 + cx^2 + d.$ These two polynomials share a complex root $m + \sqrt{n} \cdot i,$ where $m$ and $n$ are positive integers and $i = \sqrt{-1}.$ Find $m + n.$

答案

答案：330

知识点：复数韦达定理多项式

难度评级：2100

解答：

两个三次多项式都有实系数，所以非实根成共轭对出现：第一个多项式的根是 $-20$ 和 $m \pm \sqrt{n}\,i$ ，第二个多项式的根是 $-21$ 和 $m \pm \sqrt{n}\,i$ 。

第一个三次多项式 $x^3 + ax + b$ 没有 $x^2$ 项，所以根和为 $0$ ： $-20 + 2m = 0$ ，得 $m = 10$ 。第二个三次多项式 $x^3 + cx^2 + d$ 没有 $x$ 项，所以两两根积之和为 $0$ ：因此 $n = 420 - 100 = 320$ 。于是 $m + n = 10 + 320 = 330$ 。 $\begin{aligned} &(m + \sqrt{n}\,i)(m - \sqrt{n}\,i) \\ &\quad {}+ (-21)(2m) \\ &= m^2 + n - 42m = 0, \end{aligned}$

Both cubics have real coefficients, so their non-real roots come in conjugate pairs: the roots of the first are $-20$ and $m \pm \sqrt{n}\,i,$ and the roots of the second are $-21$ and $m \pm \sqrt{n}\,i.$

The first cubic $x^3 + ax + b$ has no $x^2$ term, so its roots sum to $0:$ $-20 + 2m = 0,$ giving $m = 10.$ The second cubic $x^3 + cx^2 + d$ has no $x$ term, so the sum of pairwise products of its roots is $0:$ $\begin{aligned} &(m + \sqrt{n}\,i)(m - \sqrt{n}\,i) \\ &\quad {}+ (-21)(2m) \\ &= m^2 + n - 42m = 0, \end{aligned}$ so $n = 420 - 100 = 320.$ Then $m + n = 10 + 320 = 330.$

2021 AIME II 第 4 题

答案：330

难度评级：2100

解答：

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