Question

等边三角形 $ABC$ 的边长为 $840$ 。点 $D$ 与 $A$ 在线 $BC$ 的同侧，且 $\overline{BD} \perp \overline{BC}$ 。过 $D$ 作平行于线 $BC$ 的直线 $\ell$ ，分别交边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 于点 $E$ 与 $F$ 。点 $G$ 在 $\ell$ 上，且 $F$ 位于 $E$ 与 $G$ 之间， $\triangle AFG$ 是等腰三角形，并且 $\triangle AFG$ 与 $\triangle BED$ 的面积比为 $8 : 9$ 。求 $AF$ 。

Equilateral triangle $ABC$ has side length $840.$ Point $D$ lies on the same side of line $BC$ as $A$ such that $\overline{BD} \perp \overline{BC}.$ The line $\ell$ through $D$ parallel to line $BC$ intersects sides $\overline{AB}$ and $\overline{AC}$ at points $E$ and $F,$ respectively. Point $G$ lies on $\ell$ such that $F$ is between $E$ and $G,$ $\triangle AFG$ is isosceles, and the ratio of the area of $\triangle AFG$ to the area of $\triangle BED$ is $8 : 9.$ Find $AF.$

答案

答案：336

知识点：等边三角形三角形面积面积比

难度评级：2460

解答：

因为 $\ell \parallel BC$ ，三角形 $AEF$ 是等边三角形；设 $s = AF = EF$ 。 $\ell$ 与 $BC$ 之间的距离等于三角形 $ABC$ 的高减去三角形 $AEF$ 的高，所以 $BD = \frac{\sqrt{3}}{2}(840 - s)$ ；记 $h = BD$ 。

在三角形 $BED$ 中，底边 $\overline{BD}$ 垂直于 $BC$ 长度为 $h$ ，又因为 $\angle EBC = 60^\circ$ 点 $E$ 到线 $BD$ 的水平距离为 $\frac{h}{\sqrt{3}}$ 。因此 $[BED] = \frac{h^2}{2\sqrt{3}}$ 。另外 $\angle AFG = 180^\circ - \angle AFE$ $= 120^\circ$ ，含有 $120^\circ$ 角的等腰三角形必须以这个角为顶角，所以 $FA = FG = s$ ，从而 $[AFG] = \frac{1}{2}s^2 \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ 。

面积比给出所以 $\frac{s}{h} = \frac{4}{3\sqrt{3}}$ 。代入 $h = \frac{\sqrt{3}}{2}(840 - s)$ ，得 $s = \frac{2}{3}(840 - s)$ ，因此 $5s = 1680$ ，所以 $AF = 336$ 。 $\begin{aligned} \frac{[AFG]}{[BED]} &= \frac{\sqrt{3}s^2/4}{h^2/(2\sqrt{3})} \\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{s^2}{h^2} = \frac{8}{9}, \end{aligned}$

Since $\ell \parallel BC,$ triangle $AEF$ is equilateral; let $s = AF = EF.$ The distance between $\ell$ and $BC$ is the height of $ABC$ minus the height of $AEF,$ so $BD = \frac{\sqrt{3}}{2}(840 - s);$ write $h = BD.$

In triangle $BED,$ the base $\overline{BD}$ is perpendicular to $BC$ and has length $h,$ while $E$ lies at horizontal distance $\frac{h}{\sqrt{3}}$ from line $BD$ because $\angle EBC = 60^\circ.$ Hence $[BED] = \frac{h^2}{2\sqrt{3}}.$ Also $\angle AFG = 180^\circ - \angle AFE$ $= 120^\circ,$ and an isosceles triangle with a $120^\circ$ angle must have it as the apex angle, so $FA = FG = s$ and $[AFG] = \frac{1}{2}s^2 \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2.$

The ratio condition gives $\begin{aligned} \frac{[AFG]}{[BED]} &= \frac{\sqrt{3}s^2/4}{h^2/(2\sqrt{3})} \\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{s^2}{h^2} = \frac{8}{9}, \end{aligned}$ so $\frac{s}{h} = \frac{4}{3\sqrt{3}}.$ Substituting $h = \frac{\sqrt{3}}{2}(840 - s)$ yields $s = \frac{2}{3}(840 - s),$ so $5s = 1680$ and $AF = 336.$

2021 AIME II 第 2 题

答案：336

难度评级：2460

解答：

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