Question

对于互不相同的复数 $z_1, z_2, \ldots, z_{673}$ ，多项式可以表示为 $x^{2019} + 20x^{2018}$ $+ 19x^{2017} + g(x)$ ，其中 $g(x)$ 是次数至多为 $2016$ 的复系数多项式。数值可以表示为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 与 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。 $\begin{gathered} (x - z_1)^3 (x - z_2)^3 \\ \cdots (x - z_{673})^3 \end{gathered}$ $\left| \sum_{1 \le j \lt k \le 673} z_j z_k \right|$

For distinct complex numbers $z_1, z_2, \ldots, z_{673},$ the polynomial $\begin{gathered} (x - z_1)^3 (x - z_2)^3 \\ \cdots (x - z_{673})^3 \end{gathered}$ can be expressed as $x^{2019} + 20x^{2018}$ $+ 19x^{2017} + g(x),$ where $g(x)$ is a polynomial with complex coefficients and with degree at most $2016.$ The value of $\left| \sum_{1 \le j \lt k \le 673} z_j z_k \right|$ can be expressed in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：352

知识点：韦达定理多项式

难度评级：2840

解答：

该多项式的 $2019$ 个根是各个 $z_j$ ，每个重复三次。由韦达定理， $x^{2018}$ 的系数是所有根之和的相反数： $3\sum_j z_j = -20$ ，所以 $\sum_j z_j = -\frac{20}{3}$ 。

$x^{2017}$ 的系数是所有无序根对乘积之和。一个根对可以取自同一个三重根（每个 $j$ 有 $\binom{3}{2} = 3$ 对），也可以取自两个不同三重根（每个 $j \lt k$ 有 $3 \cdot 3 = 9$ 对）。记 $S = \sum_{j \lt k} z_j z_k$ ，则所以 $3S = 19 - \frac{400}{3} = -\frac{343}{3}$ ， $S = -\frac{343}{9}$ 。 $\begin{aligned} 19 &= 3\sum_j z_j^2 + 9S \\ &= 3\left[\left(-\tfrac{20}{3}\right)^2 - 2S\right] + 9S \\ &= \frac{400}{3} + 3S, \end{aligned}$

因此 $|S| = \frac{343}{9}$ ，已为最简分数， $m + n = 343 + 9 = 352$ 。

The polynomial's $2019$ roots are the numbers $z_j,$ each repeated three times. By Vieta's formulas, the coefficient of $x^{2018}$ is minus the sum of all roots: $3\sum_j z_j = -20,$ so $\sum_j z_j = -\frac{20}{3}.$

The coefficient of $x^{2017}$ is the sum over unordered pairs of roots. A pair may use two copies from one triple ( $\binom{3}{2} = 3$ pairs for each $j$ ) or copies from two different triples ( $3 \cdot 3 = 9$ pairs for each $j \lt k$ ). Writing $S = \sum_{j \lt k} z_j z_k,$ $\begin{aligned} 19 &= 3\sum_j z_j^2 + 9S \\ &= 3\left[\left(-\tfrac{20}{3}\right)^2 - 2S\right] + 9S \\ &= \frac{400}{3} + 3S, \end{aligned}$ so $3S = 19 - \frac{400}{3} = -\frac{343}{3}$ and $S = -\frac{343}{9}.$

Hence $|S| = \frac{343}{9},$ which is in lowest terms, and $m + n = 343 + 9 = 352.$

2019 AIME I 第 10 题

答案：352

难度评级：2840

解答：

其他年份的第 10 题