Question

求不超过 $2017$ 的正整数中，有多少个的三元表示不含数字 $0$ 。

Find the number of positive integers less than or equal to $2017$ whose base-three representation contains no digit equal to $0.$

答案

答案：222

知识点：进制数字分类讨论

难度评级：2230

解答：

一个正整数的三元表示没有 $0$ ，当且仅当每一位都是 $1$ 或 $2$ 。对于 $k = 1, 2, \ldots, 6$ ，这样的 $k$ 位数有 $2^k$ 个，并且它们全都不超过 $222222_3 = 728 \lt 2017$ 。

因为 $2017 = 2202201_3$ ，一个由 $1$ 和 $2$ 组成的七位字符串不超过 $2017$ ，当且仅当它以 $11$ 、 $12$ 或 $21$ 开头：任何以 $22$ 开头的字符串都会在第三位超过 $2202201_3$ ，因为它的各位都非零。因此有 $3 \cdot 2^5 = 96$ 个七位数。

总数为 $2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64$ $+ 96 = 222$ 。

A positive integer has no $0$ in base three exactly when every digit is $1$ or $2.$ For $k = 1, 2, \ldots, 6$ there are $2^k$ such $k$ -digit numbers, and all of them are at most $222222_3 = 728 \lt 2017.$

Since $2017 = 2202201_3,$ a seven-digit string of $1$ s and $2$ s is at most $2017$ exactly when it begins with $11,$ $12,$ or $21:$ any string beginning $22$ already beats $2202201_3$ at the third digit, since its digits are nonzero. That gives $3 \cdot 2^5 = 96$ seven-digit numbers.

The total is $2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64$ $+ 96 = 222.$

2017 AIME II 第 4 题

答案：222

难度评级：2230

解答：

其他年份的第 4 题