Question

对数字 $1, 2, \ldots, 9$ 的一个排列 $p = (a_1, a_2, \ldots, a_9)$ ，令 $s(p)$ 表示三个 $3$ 位数 $a_1a_2a_3$ 、 $a_4a_5a_6$ 和 $a_7a_8a_9$ 的和。设 $m$ 为所有满足 $s(p)$ 的个位数字为 $0$ 的排列中， $s(p)$ 的最小值。设 $n$ 表示满足 $s(p) = m$ 的排列 $p$ 的个数。求 $|m - n|$ 。

For a permutation $p = (a_1, a_2, \ldots, a_9)$ of the digits $1, 2, \ldots, 9,$ let $s(p)$ denote the sum of the three $3$ -digit numbers $a_1a_2a_3,$ $a_4a_5a_6,$ and $a_7a_8a_9.$ Let $m$ be the minimum value of $s(p)$ subject to the condition that the units digit of $s(p)$ is $0.$ Let $n$ denote the number of permutations $p$ with $s(p) = m.$ Find $|m - n|.$

答案

答案：162

知识点：位值排列分类讨论

难度评级：2710

解答：

按位值， $s(p) = 100(a_1 + a_4 + a_7)$ $+ 10(a_2 + a_5 + a_8)$ $+ (a_3 + a_6 + a_9)$ ，且九个数字之和为 $45$ 。 $s(p)$ 的个位数字为 $0$ 当且仅当 $a_3 + a_6 + a_9 = 10$ 或 $20$ 。令 $X = a_1 + a_4 + a_7$ ，如果个位列和为 $10$ ，则 $s(p) = 100X + 10(35 - X) + 10$ $= 90X + 360 \ge 900$ ；如果个位列和为 $20$ ，则 $s(p) = 90X + 270$ $\ge 90 \cdot 6 + 270 = 810$ 。所以 $m = 810$ ，恰好在 $\{a_1, a_4, a_7\} = \{1, 2, 3\}$ 且个位数字之和为 $20$ 时达到。

剩余数字 $\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ 必须拆分，使个位三元组和为 $20$ ：可能为 $\{4, 7, 9\}$ 、 $\{5, 6, 9\}$ ，和 $\{5, 7, 8\}$ 。这 $3$ 种拆分中的每一种都允许 $3! \cdot 3! \cdot 3! = 216$ 种三列排列，所以 $n = 3 \cdot 216 = 648$ 。

因此 $|m - n| = |810 - 648| = 162$ 。

By place value, $s(p) = 100(a_1 + a_4 + a_7)$ $+ 10(a_2 + a_5 + a_8)$ $+ (a_3 + a_6 + a_9),$ and all nine digits sum to $45.$ The units digit of $s(p)$ is $0$ exactly when $a_3 + a_6 + a_9 = 10$ or $20.$ Writing $X = a_1 + a_4 + a_7,$ if the units column sums to $10$ then $s(p) = 100X + 10(35 - X) + 10$ $= 90X + 360 \ge 900,$ while if it sums to $20$ then $s(p) = 90X + 270$ $\ge 90 \cdot 6 + 270 = 810.$ So $m = 810,$ achieved exactly when $\{a_1, a_4, a_7\} = \{1, 2, 3\}$ and the units digits sum to $20.$

The remaining digits $\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ must split so the units triple sums to $20:$ the possibilities are $\{4, 7, 9\},$ $\{5, 6, 9\},$ and $\{5, 7, 8\}.$ Each of the $3$ splits allows $3! \cdot 3! \cdot 3! = 216$ arrangements of the three columns, so $n = 3 \cdot 216 = 648.$

Therefore $|m - n| = |810 - 648| = 162.$

2016 AIME I 第 8 题

答案：162

难度评级：2710

解答：

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