Question

一个高为 $h$ 的直棱柱，其底面是边长为 $12$ 的正六边形。棱柱的一个顶点 $A$ 以及与它相邻的三个顶点是一个三棱锥的顶点。这个三棱锥中，位于棱柱底面内的面与不含 $A$ 的面所形成的二面角（两个平面之间的角）为 $60^\circ$ 。求 $h^2$ 。

A right prism with height $h$ has bases that are regular hexagons with sides of length $12.$ A vertex $A$ of the prism and its three adjacent vertices are the vertices of a triangular pyramid. The dihedral angle (the angle between the two planes) formed by the face of the pyramid that lies in a base of the prism and the face of the pyramid that does not contain $A$ measures $60^\circ.$ Find $h^2.$

答案

答案：108

知识点：立体几何正多边形三角学

难度评级：2340

解答：

与 $A$ 相邻的三个顶点是同一正六边形底面中的两个邻点 $B$ 和 $C$ ，以及 $A$ 正上方的顶点 $D$ ，其中 $DA = h$ 且垂直于底面。位于底面内的面是 $ABC$ ，不含 $A$ 的面是 $BCD$ ；它们沿 $\overline{BC}$ 相交。

令 $E$ 为 $\overline{BC}$ 的中点。因为 $AB = AC = 12$ ，且 $\angle BAC = 120^\circ$ （正六边形的内角），所以 $\overline{AE} \perp \overline{BC}$ ，并且 $AE = 12\cos 60^\circ = 6$ 。因为 $\overline{DA}$ 垂直于底面， $\overline{DE} \perp \overline{BC}$ 也成立，所以二面角为 $\angle DEA = 60^\circ$ 。

在直角三角形 $DAE$ 中， $h = AE\tan 60^\circ = 6\sqrt{3}$ ，所以 $h^2 = 108$ 。

The three vertices adjacent to $A$ are its two neighbors $B$ and $C$ in the same hexagonal base and the vertex $D$ directly above $A,$ with $DA = h$ perpendicular to the base. The face in the base is $ABC,$ and the face avoiding $A$ is $BCD;$ they meet along $\overline{BC}.$

Let $E$ be the midpoint of $\overline{BC}.$ Since $AB = AC = 12$ and $\angle BAC = 120^\circ$ (the interior angle of a regular hexagon), $\overline{AE} \perp \overline{BC}$ and $AE = 12\cos 60^\circ = 6.$ Because $\overline{DA}$ is perpendicular to the base, $\overline{DE} \perp \overline{BC}$ as well, so the dihedral angle is $\angle DEA = 60^\circ.$

In right triangle $DAE,$ $h = AE\tan 60^\circ = 6\sqrt{3},$ so $h^2 = 108.$

2016 AIME I 第 4 题

答案：108

难度评级：2340

解答：

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