Question

循环小数 $0.abab\overline{ab}$ 和 $0.abcabc\overline{abc}$ 满足 $0.abab\overline{ab} + 0.abcabc\overline{abc} = \frac{33}{37},$ 其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是数字，且不一定互不相同。求三位数 $abc$ 。

The repeating decimals $0.abab\overline{ab}$ and $0.abcabc\overline{abc}$ satisfy $0.abab\overline{ab} + 0.abcabc\overline{abc} = \frac{33}{37},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are (not necessarily distinct) digits. Find the three-digit number $abc.$

答案

答案：447

知识点：循环小数数字模运算

难度评级：2230

解答：

用 $ab$ 和 $abc$ 表示相应的两位数和三位数，则两个小数分别为 $\frac{ab}{99}$ 和 $\frac{abc}{999}$ 。因为 $99 = 9 \cdot 11$ ，且 $999 = 27 \cdot 37$ ，公分母为 $27 \cdot 37 \cdot 11 = 10989$ ，两边同乘这个数，得到 $\begin{aligned} &111 \cdot ab + 11 \cdot abc \\ &= \frac{33}{37} \cdot 10989 \\ &= 9801. \end{aligned}$

模 $11$ 下，因为 $9801 = 11 \cdot 891$ 且 $111 \equiv 1$ ，所以 $11 \mid ab$ ，从而 $a = b$ 。于是 $ab = 11a$ ，原方程除以 $11$ 得到 $111a + abc = 891$ 。又 $abc = 110a + c$ ，所以 $221a + c = 891$ ，这要求 $a = 4$ 且 $c = 7$ 。

因此 $a = b = 4$ ， $c = 7$ ，三位数 $abc$ 为 $447$ 。

Writing $ab$ and $abc$ for the two- and three-digit numbers, the decimals equal $\frac{ab}{99}$ and $\frac{abc}{999}.$ Since $99 = 9 \cdot 11$ and $999 = 27 \cdot 37,$ the common denominator is $27 \cdot 37 \cdot 11 = 10989,$ and multiplying the equation by it gives $\begin{aligned} &111 \cdot ab + 11 \cdot abc \\ &= \frac{33}{37} \cdot 10989 \\ &= 9801. \end{aligned}$

Modulo $11,$ since $9801 = 11 \cdot 891$ and $111 \equiv 1,$ this forces $11 \mid ab,$ so $a = b.$ Then $ab = 11a,$ and dividing the equation by $11$ gives $111a + abc = 891.$ Since $abc = 110a + c,$ this is $221a + c = 891,$ which requires $a = 4$ and $c = 7.$

Thus $a = b = 4,$ $c = 7,$ and the three-digit number $abc$ is $447.$

2014 AIME II 第 4 题

答案：447

难度评级：2230

解答：

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