Question

在等边 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 和 $E$ 将 $\overline{BC}$ 三等分。则 $\sin(\angle DAE)$ 可表示为 $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ ，其中 $a$ 和 $c$ 是互质的正整数，且 $b$ 是不被任何质数平方整除的整数。求 $a + b + c$ 。

In equilateral $\triangle ABC$ let points $D$ and $E$ trisect $\overline{BC}.$ Then $\sin(\angle DAE)$ can be expressed in the form $\frac{a\sqrt{b}}{c},$ where $a$ and $c$ are relatively prime positive integers, and $b$ is an integer that is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c.$

答案

答案：20

知识点：余弦定理三角形面积等边三角形

难度评级：2330

解答：

缩放使边长为 $6$ ，且 $BD = DE = EC = 2$ 。在三角形 $AEC$ 中，余弦定理给出所以 $AE = 2\sqrt{7}$ ，由对称性 $AD = 2\sqrt{7}$ 。 $\begin{aligned} AE^2 &= 6^2 + 2^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cos 60^\circ \\ &= 28, \end{aligned}$

因为 $DE$ 是 $BC$ 的三分之一，且三角形 $ADE$ 和 $ABC$ 共有顶点 $A$ ，所以 $[ADE] = \frac{1}{3}[ABC]$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{36\sqrt{3}}{4}$ $= 3\sqrt{3}$ 。另一方面， $[ADE] = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE$ $\cdot \sin(\angle DAE)$ $= 14\sin(\angle DAE)$ 。

因此 $\sin(\angle DAE) = \frac{3\sqrt{3}}{14}$ ，且 $a + b + c = 3 + 3 + 14 = 20$ 。

Scale so the side length is $6,$ with $BD = DE = EC = 2.$ In triangle $AEC,$ the law of cosines gives $\begin{aligned} AE^2 &= 6^2 + 2^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cos 60^\circ \\ &= 28, \end{aligned}$ so $AE = 2\sqrt{7},$ and $AD = 2\sqrt{7}$ by symmetry.

Since $DE$ is one third of $BC$ and triangles $ADE$ and $ABC$ share the apex $A,$ we get $[ADE] = \frac{1}{3}[ABC]$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{36\sqrt{3}}{4}$ $= 3\sqrt{3}.$ On the other hand $[ADE] = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE$ $\cdot \sin(\angle DAE)$ $= 14\sin(\angle DAE).$

Therefore $\sin(\angle DAE) = \frac{3\sqrt{3}}{14},$ and $a + b + c = 3 + 3 + 14 = 20.$

2013 AIME II 第 5 题

答案：20

难度评级：2330

解答：

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