Question

在三角形 $ABC$ 中， $AB = \frac{20}{11} AC$ 。角 $A$ 的角平分线与 $\overline{BC}$ 交于点 $D$ 。点 $M$ 是 $\overline{AD}$ 的中点。令 $P$ 为 $\overline{AC}$ 与直线 $BM$ 的交点。 $CP$ 与 $PA$ 的比可以表示为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

In triangle $ABC,$ $AB = \frac{20}{11} AC.$ The angle bisector of angle $A$ intersects $\overline{BC}$ at point $D,$ and point $M$ is the midpoint of $\overline{AD}.$ Let $P$ be the point of the intersection of $\overline{AC}$ and line $BM.$ The ratio of $CP$ to $PA$ can be expressed in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：51

知识点：质点法角平分线定理

难度评级：2270

解答：

根据角平分线定理， $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{20}{11}$ 。使用质量点：在 $B$ 放质量 $11$ ，在 $C$ 放质量 $20$ ，于是以 $BD : DC = 20 : 11$ 分割 $\overline{BC}$ 的点 $D$ 是它们的平衡点，带有质量 $31$ 。在 $A$ 放质量 $31$ ，就会使 $A$ 和 $D$ 的平衡点正好是 $\overline{AD}$ 的中点 $M$ 。

因此整个系统的质心在直线 $BM$ 上，同时也在从 $B$ 到 $A$ 与 $C$ 的平衡点的线段上。这个平衡点正是直线 $BM$ 与 $\overline{AC}$ 的交点 $P$ ，并满足 $31 \cdot PA = 20 \cdot CP$ 。

所以 $\frac{CP}{PA} = \frac{31}{20}$ ，已经是最简形式， $m + n = 31 + 20 = 51$ 。

By the angle bisector theorem, $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{20}{11}.$ Use mass points: place mass $11$ at $B$ and mass $20$ at $C,$ so that $D,$ which divides $\overline{BC}$ with $BD : DC = 20 : 11,$ is their balance point and carries mass $31.$ Placing mass $31$ at $A$ makes the balance point of $A$ and $D$ exactly the midpoint $M$ of $\overline{AD}.$

The center of mass of the whole system therefore lies on line $BM,$ and it also lies on the segment from $B$ to the balance point of $A$ and $C.$ That balance point is precisely where line $BM$ crosses $\overline{AC},$ namely $P,$ and it satisfies $31 \cdot PA = 20 \cdot CP.$

Hence $\frac{CP}{PA} = \frac{31}{20},$ which is in lowest terms, and $m + n = 31 + 20 = 51.$

2011 AIME II 第 4 题

答案：51

难度评级：2270

解答：

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