Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AB = 12$ 、 $BC = 13$ 、 $AC = 15$ ，设 $M$ 是 $\overline{AC}$ 上一点，使得 $\triangle ABM$ 和 $\triangle BCM$ 的内切圆半径相等。设 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数，满足 $\frac{AM}{CM} = \frac{p}{q}$ 。求 $p + q$ 。

In $\triangle ABC$ with $AB = 12,$ $BC = 13,$ and $AC = 15,$ let $M$ be a point on $\overline{AC}$ such that the incircles of $\triangle ABM$ and $\triangle BCM$ have equal radii. Let $p$ and $q$ be positive relatively prime integers such that $\frac{AM}{CM} = \frac{p}{q}.$ Find $p + q.$

答案

答案：45

知识点：内切圆、内心与内切圆半径斯特瓦尔特定理面积比

难度评级：3370

解答：

令 $k = \frac{AM}{CM}$ 。三角形 $ABM$ 和 $CBM$ 共用从 $B$ 作出的高，所以 $\frac{[ABM]}{[CBM]} = k$ 。因为三角形的内切圆半径等于面积除以半周长，内切圆半径相等迫使 $\frac{12 + AM + BM}{13 + CM + BM} = k$ 。由 $AM + CM = 15$ ，得 $AM = \frac{15k}{k+1}$ 、 $CM = \frac{15}{k+1}$ ；由于 $AM = k \cdot CM$ ，周长方程化简为 $BM(1 - k) = 13k - 12$ ，所以且 $BM \gt 0$ 迫使 $\frac{12}{13} \lt k \lt 1$ 。 $BM = \frac{13k - 12}{1 - k},$

对线段 $\overline{BM}$ 使用 Stewart 定理，给出 $AB^2 \cdot CM + BC^2 \cdot AM$ $= AC\left(BM^2 + AM \cdot CM\right)$ ，所以令它等于 $\frac{(13k-12)^2}{(1-k)^2}$ ，并清除分母，得到 $(169k^2 + 88k + 144)(1-k)^2$ $= (13k-12)^2(k+1)^2$ ，化简为 $4k\left(69k^2 - 112k + 44\right) = 0$ 。 $\begin{aligned} BM^2 &= \frac{144 + 169k}{k + 1} \\ &\quad {}- \frac{225k}{(k+1)^2}. \end{aligned}$

根为 $k = 0$ 、 $k = \frac{2}{3}$ ，和 $k = \frac{22}{23}$ ，其中只有 $k = \frac{22}{23}$ 大于 $\frac{12}{13}$ （此时 $AM = \frac{22}{3}$ 、 $CM = \frac{23}{3}$ 、 $BM = 10$ ）。因此 $p + q = 22 + 23 = 45$ 。

Let $k = \frac{AM}{CM}.$ Triangles $ABM$ and $CBM$ share the altitude from $B,$ so $\frac{[ABM]}{[CBM]} = k.$ Since the inradius of a triangle is its area divided by its semiperimeter, equal inradii force $\frac{12 + AM + BM}{13 + CM + BM} = k$ as well. From $AM + CM = 15$ we get $AM = \frac{15k}{k+1}$ and $CM = \frac{15}{k+1};$ since $AM = k \cdot CM,$ the perimeter equation simplifies to $BM(1 - k) = 13k - 12,$ so $BM = \frac{13k - 12}{1 - k},$ and $BM \gt 0$ forces $\frac{12}{13} \lt k \lt 1.$

Stewart's theorem on cevian $\overline{BM}$ gives $AB^2 \cdot CM + BC^2 \cdot AM$ $= AC\left(BM^2 + AM \cdot CM\right),$ so $\begin{aligned} BM^2 &= \frac{144 + 169k}{k + 1} \\ &\quad {}- \frac{225k}{(k+1)^2}. \end{aligned}$ Setting this equal to $\frac{(13k-12)^2}{(1-k)^2}$ and clearing denominators yields $(169k^2 + 88k + 144)(1-k)^2$ $= (13k-12)^2(k+1)^2,$ which simplifies to $4k\left(69k^2 - 112k + 44\right) = 0.$

The roots are $k = 0,$ $k = \frac{2}{3},$ and $k = \frac{22}{23},$ and only $k = \frac{22}{23}$ exceeds $\frac{12}{13}$ (then $AM = \frac{22}{3},$ $CM = \frac{23}{3},$ $BM = 10$ ). Hence $p + q = 22 + 23 = 45.$

2010 AIME I 第 15 题

答案：45

难度评级：3370

解答：

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