Question

三角形 $ABC$ 中， $AC = 450$ ， $BC = 300$ 。点 $K$ 和 $L$ 分别在 $\overline{AC}$ 和 $\overline{AB}$ 上，且 $AK = CK$ ，并且 $\overline{CL}$ 是角 $C$ 的角平分线。令 $P$ 为 $\overline{BK}$ 与 $\overline{CL}$ 的交点，令 $M$ 为直线 $BK$ 上的点，使得 $K$ 是 $\overline{PM}$ 的中点。若 $AM = 180$ ，求 $LP$ 。

Triangle $ABC$ has $AC = 450$ and $BC = 300.$ Points $K$ and $L$ are located on $\overline{AC}$ and $\overline{AB}$ respectively so that $AK = CK,$ and $\overline{CL}$ is the angle bisector of angle $C.$ Let $P$ be the point of intersection of $\overline{BK}$ and $\overline{CL},$ and let $M$ be the point on line $BK$ for which $K$ is the midpoint of $\overline{PM}.$ If $AM = 180,$ find $LP.$

答案

答案：72

知识点：平行四边形相似角平分线定理

难度评级：2510

解答：

因为 $AK = CK$ ，且 $K$ 是 $\overline{PM}$ 的中点，四边形 $APCM$ 的对角线互相平分，所以 $APCM$ 是平行四边形，并且 $AM \parallel CP$ 。又因为 $P$ 在直线 $CL$ 上，且 $B$ ， $P$ ， $M$ 都在直线 $BK$ 上，三角形 $BLP$ 和 $BAM$ 相似。

因此 $\frac{LP}{AM} = \frac{BL}{BA}$ 。由角平分线定理， $\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} = \frac{450}{300} = \frac{3}{2}$ ，所以 $\frac{BL}{BA} = \frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5}$ 。

所以 $LP = \frac{2}{5} \cdot AM = \frac{2}{5} \cdot 180 = 72$ 。

Because $AK = CK$ and $K$ is the midpoint of $\overline{PM},$ the diagonals of quadrilateral $APCM$ bisect each other, so $APCM$ is a parallelogram and $AM \parallel CP.$ Since $P$ lies on line $CL$ and $B,$ $P,$ $M$ all lie on line $BK,$ triangles $BLP$ and $BAM$ are similar.

Thus $\frac{LP}{AM} = \frac{BL}{BA}.$ The angle bisector theorem gives $\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} = \frac{450}{300} = \frac{3}{2},$ so $\frac{BL}{BA} = \frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5}.$

Therefore $LP = \frac{2}{5} \cdot AM = \frac{2}{5} \cdot 180 = 72.$

2009 AIME I 第 5 题

答案：72

难度评级：2510

解答：

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