Question

正方形 $AIME$ 的边长为 $10$ 个单位。等腰三角形 $GEM$ 的底边为 $\overline{EM}$ ，并且三角形 $GEM$ 与正方形 $AIME$ 的公共部分面积为 $80$ 平方单位。求 $\triangle GEM$ 中到底边 $\overline{EM}$ 的高的长度。

Square $AIME$ has sides of length $10$ units. Isosceles triangle $GEM$ has base $\overline{EM},$ and the area common to triangle $GEM$ and square $AIME$ is $80$ square units. Find the length of the altitude to $\overline{EM}$ in $\triangle GEM.$

答案

答案：25

知识点：相似面积分割三角形面积

难度评级：2110

解答：

这里 $\overline{EM}$ 是正方形的一条边。设三角形 $GEM$ 的高为 $h$ 。若 $h \le 10$ ，三角形会完全在正方形内，其面积 $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h = 80$ 会给出 $h = 16$ ，矛盾。所以 $h \gt 10$ ，顶点 $G$ 在正方形外；对边 $\overline{AI}$ 截出一个与 $GEM$ 相似的小三角形，它的高为 $h - 10$ ，底为 $\frac{10(h - 10)}{h}$ 。

公共部分是三角形 $GEM$ 减去这个小三角形： $\begin{aligned} 80 &= 5h \\ &\quad {}- \frac{1}{2} \cdot \frac{10(h - 10)}{h} \\ &\qquad {}\cdot (h - 10) \\ &= 5h - \frac{5(h - 10)^2}{h}. \end{aligned}$ 两边乘以 $h$ ，得 $80h = 5h^2 - 5(h - 10)^2$ $= 5(20h - 100)$ $= 100h - 500$ ，所以 $20h = 500$ ， $h = 25$ 。

Here $\overline{EM}$ is a side of the square. Let $h$ be the altitude of triangle $GEM.$ If $h \le 10,$ the triangle would lie entirely inside the square, and its area $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h = 80$ would force $h = 16,$ a contradiction. So $h \gt 10$ and the apex $G$ lies outside the square; the opposite side $\overline{AI}$ cuts off a smaller triangle similar to $GEM$ with height $h - 10$ and base $\frac{10(h - 10)}{h}.$

The common region is triangle $GEM$ minus that small triangle: $\begin{aligned} 80 &= 5h \\ &\quad {}- \frac{1}{2} \cdot \frac{10(h - 10)}{h} \\ &\qquad {}\cdot (h - 10) \\ &= 5h - \frac{5(h - 10)^2}{h}. \end{aligned}$ Multiplying by $h$ gives $80h = 5h^2 - 5(h - 10)^2$ $= 5(20h - 100)$ $= 100h - 500,$ so $20h = 500$ and $h = 25.$

2008 AIME I 第 2 题

答案：25

难度评级：2110

解答：

其他年份的第 2 题