Question

令一个数列定义如下： $a_1 = 3$ ， $a_2 = 3$ ，且对 $n \ge 2$ ， $a_{n+1}a_{n-1} = a_n^2 + 2007$ 。求不超过 $\frac{a_{2007}^2 + a_{2006}^2}{a_{2007}a_{2006}}$ 的最大整数。

Let a sequence be defined as follows: $a_1 = 3,$ $a_2 = 3,$ and for $n \ge 2,$ $a_{n+1}a_{n-1} = a_n^2 + 2007.$ Find the largest integer less than or equal to $\frac{a_{2007}^2 + a_{2006}^2}{a_{2007}a_{2006}}.$

答案

答案：224

知识点：递推不变量极限情形界定

难度评级：3160

解答：

对 $n \ge 3$ 有 $a_{n+1}a_{n-1} = a_n^2 + 2007$ 和 $a_n a_{n-2} = a_{n-1}^2 + 2007$ 。相减并重新组合，得到 $a_{n-1}(a_{n+1} + a_{n-1})$ $= a_n(a_n + a_{n-2})$ ，因而 $\frac{a_{n+1} + a_{n-1}}{a_n}$ 对所有 $n \ge 2$ 取同一值。因为 $a_3 = \frac{3^2 + 2007}{3} = 672$ ，该值为 $\frac{672 + 3}{3} = 225$ ，数列满足 $a_{n+1} = 225a_n - a_{n-1}$ 。

将 $a_{n+1} + a_{n-1} = 225a_n$ 乘以 $a_{n+1}$ ，并代入 $a_{n+1}a_{n-1} = a_n^2 + 2007$ ，得到 $a_{n+1}^2 + a_n^2 + 2007 = 225\,a_n a_{n+1}$ ，因此 $\frac{a_{n+1}^2 + a_n^2}{a_{n+1}a_n} = 225 - \frac{2007}{a_n a_{n+1}}.$

该数列递增： $a_3 = 672 \gt a_2$ ，且每当 $a_n \gt a_{n-1}$ 时， $a_{n+1} = 225a_n - a_{n-1} \gt a_n$ 。因此 $a_{2006}a_{2007} \gt 672^2 \gt 2007$ ，所以该分式严格介于 $224$ 与 $225$ 之间，答案为 $224$ 。

For $n \ge 3,$ both $a_{n+1}a_{n-1} = a_n^2 + 2007$ and $a_n a_{n-2} = a_{n-1}^2 + 2007$ hold. Subtracting and regrouping gives $a_{n-1}(a_{n+1} + a_{n-1})$ $= a_n(a_n + a_{n-2}),$ so $\frac{a_{n+1} + a_{n-1}}{a_n}$ has the same value for every $n \ge 2.$ Since $a_3 = \frac{3^2 + 2007}{3} = 672,$ that value is $\frac{672 + 3}{3} = 225,$ and the sequence satisfies $a_{n+1} = 225a_n - a_{n-1}.$

Multiplying $a_{n+1} + a_{n-1} = 225a_n$ by $a_{n+1}$ and substituting $a_{n+1}a_{n-1} = a_n^2 + 2007$ yields $a_{n+1}^2 + a_n^2 + 2007 = 225\,a_n a_{n+1},$ so $\frac{a_{n+1}^2 + a_n^2}{a_{n+1}a_n} = 225 - \frac{2007}{a_n a_{n+1}}.$

The sequence increases: $a_3 = 672 \gt a_2,$ and $a_{n+1} = 225a_n - a_{n-1} \gt a_n$ whenever $a_n \gt a_{n-1}.$ Hence $a_{2006}a_{2007} \gt 672^2 \gt 2007,$ so the fraction lies strictly between $224$ and $225,$ and the answer is $224.$

2007 AIME I 第 14 题

答案：224

难度评级：3160

解答：

其他年份的第 14 题