Question

令 $S_n$ 为从 $1$ 到 $10^n$ ，（含端点）所有整数的非零数字的倒数之和。求最小的正整数 $n$ ，使得 $S_n$ 是整数。

Let $S_n$ be the sum of the reciprocals of the nonzero digits of the integers from $1$ to $10^n,$ inclusive. Find the smallest positive integer $n$ for which $S_n$ is an integer.

答案

答案：63

知识点：数字整除性求和

难度评级：3060

解答：

将 $0$ 到 $10^n - 1$ 的整数写成带前导零的 $n$ 位字符串。每个 $n$ 位位置取每个数字值的次数相同，所以每个非零数字出现 $n \cdot 10^{n-1}$ 次。再加上数字 $1$ ，来自 $10^n$ 本身， $\begin{aligned} S_n &= 1 \\ &\quad {}+ n \\ &\quad {}\cdot 10^{n-1}\small\left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{9}\right) \\ &= 1 + \frac{7129}{2520}\, n \cdot 10^{n-1}. \end{aligned}$

因为 $\gcd(7129, 2520) = 1$ ，该和是整数当且仅当 $2520 \mid n \cdot 10^{n-1}$ 。现在 $2520 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$ ，且当 $n \ge 4$ 时，因子 $10^{n-1}$ 提供 $2^3 \cdot 5$ ，剩下条件 $63 \mid n$ （ $10$ 的幂不含因子 $3$ 或 $7$ ）。对于 $n = 1, 2, 3$ ，乘积 $1, 20, 300$ 都不是 $2520$ 的倍数。

因此最小解为 $n = 63$ 。

Write the integers from $0$ to $10^n - 1$ as $n$ -digit strings with leading zeros. Each of the $n$ digit positions takes each digit value equally often, so each nonzero digit appears $n \cdot 10^{n-1}$ times. Adding the digit $1$ of $10^n$ itself, $\begin{aligned} S_n &= 1 \\ &\quad {}+ n \\ &\quad {}\cdot 10^{n-1}\small\left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{9}\right) \\ &= 1 + \frac{7129}{2520}\, n \cdot 10^{n-1}. \end{aligned}$

Since $\gcd(7129, 2520) = 1,$ the sum is an integer exactly when $2520 \mid n \cdot 10^{n-1}.$ Now $2520 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7,$ and for $n \ge 4$ the factor $10^{n-1}$ supplies $2^3 \cdot 5,$ leaving the condition $63 \mid n$ (a power of $10$ has no factors of $3$ or $7$ ). For $n = 1, 2, 3$ the products $1, 20, 300$ are not multiples of $2520.$

The smallest solution is therefore $n = 63.$

2006 AIME II 第 14 题

答案：63

难度评级：3060

解答：

其他年份的第 14 题