Question

$2004^{2004}$ 的正整数因子中，有多少个恰好能被 $2004$ 个正整数整除？

How many positive integer divisors of $2004^{2004}$ are divisible by exactly $2004$ positive integers?

答案

答案：54

难度评级：2450

解答：

因为 $2004 = 2^2 \cdot 3 \cdot 167$ ，所以 $2004^{2004} = 2^{4008} \cdot 3^{2004} \cdot 167^{2004}$ 。它的因子为 $N = 2^i 3^j 167^k$ ，其中 $i \le 4008$ 、 $j, k \le 2004$ 。这样的 $N$ 有 $(i+1)(j+1)(k+1)$ 个因子，所以需要 $(i+1)(j+1)(k+1) = 2004$ 。

每个乘积为 $2004$ 的正整数有序三元组都会给出可行指数，因为每个因子都不超过 $2004$ 。逐个质因子计数：质数 $2$ 的指数 $2$ 分到三个因子中，由隔板法有 $\binom{2+2}{2} = 6$ 种；质数 $3$ 和 $167$ 各自都有 $3$ 个因子可供选择。

总数为 $6 \cdot 3 \cdot 3 = 54$ 。

Since $2004 = 2^2 \cdot 3 \cdot 167,$ we have $2004^{2004} = 2^{4008} \cdot 3^{2004} \cdot 167^{2004},$ so its divisors are $N = 2^i 3^j 167^k$ with $i \le 4008$ and $j, k \le 2004.$ Such an $N$ has $(i+1)(j+1)(k+1)$ divisors, so we need $(i+1)(j+1)(k+1) = 2004.$

Every ordered triple of positive integers with product $2004$ yields admissible exponents, since each factor is at most $2004.$ Counting prime by prime: the exponent $2$ of the prime $2$ is split among the three factors in $\binom{2+2}{2} = 6$ ways by stars and bars, and each of the primes $3$ and $167$ goes to one of the $3$ factors.

The count is $6 \cdot 3 \cdot 3 = 54.$

2004 AIME II 第 8 题

答案：54

难度评级：2450

解答：

其他年份的第 8 题