Question

坐标都是整数的点称为格点。双曲线 $x^2 - y^2 = 2000^2$ 上有多少个格点？

A point whose coordinates are both integers is called a lattice point. How many lattice points lie on the hyperbola $x^2 - y^2 = 2000^2?$

答案

答案：98

知识点：平方差因数个数奇偶性格点

难度评级：2110

解答：

分解得 $(x - y)(x + y) = 2000^2$ $= 2^8 \cdot 5^6$ 。两个因子 $x - y$ 和 $x + y$ 奇偶性相同，且乘积为偶数，所以二者都必须是偶数。令 $x - y = 2a$ 、 $x + y = 2b$ ，得到 $ab = 2^6 \cdot 5^6 = 10^6$ 。

每个满足 $ab = 10^6$ 的正整数有序对 $(a, b)$ 恰好给出一个解 $x = a + b$ 、 $y = b - a$ ，且 $x \gt 0$ 。数 $10^6$ 有 $7 \cdot 7 = 49$ 个正因子，因而有 $49$ 个这样的有序对。把 $(a, b)$ 换成 $(-a, -b)$ 给出 $49$ 个 $x \lt 0$ 的解；而 $x = 0$ 不可能，因为此时 $-y^2 \lt 2000^2$ 。

格点总数为 $49 + 49 = 98$ 。

Factor $(x - y)(x + y) = 2000^2$ $= 2^8 \cdot 5^6.$ The factors $x - y$ and $x + y$ have the same parity, and their product is even, so both must be even. Writing $x - y = 2a$ and $x + y = 2b$ gives $ab = 2^6 \cdot 5^6 = 10^6.$

Each ordered pair of positive integers $(a, b)$ with $ab = 10^6$ yields exactly one solution $x = a + b,$ $y = b - a$ with $x \gt 0,$ and $10^6$ has $7 \cdot 7 = 49$ divisors, hence $49$ such pairs. Replacing $(a, b)$ by $(-a, -b)$ gives the $49$ solutions with $x \lt 0,$ and $x = 0$ is impossible since $-y^2 \lt 2000^2.$

In total there are $49 + 49 = 98$ lattice points.

2000 AIME II 第 2 题

答案：98

难度评级：2110

解答：

其他年份的第 2 题