Question

半径为 $5$ 、 $5$ 、 $8$ ，和 $\frac{m}{n}$ 的四个圆两两外切，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

Circles of radii $5,$ $5,$ $8,$ and $\frac{m}{n}$ are mutually externally tangent, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：17

知识点：相切圆勾股定理垂直平分线

难度评级：2390

解答：

设两个半径为 $5$ 的圆心为 $P_1$ 和 $P_2$ ，则 $P_1P_2 = 5 + 5 = 10$ ，并设 $M$ 为中点。半径为 $8$ 的圆的圆心 $Q$ 满足 $QP_1 = QP_2 = 13$ ，所以 $Q$ 在 $\overline{P_1P_2}$ 的垂直平分线上，且到 $M$ 的距离为 $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ 。同理，第四个半径为 $r$ 的圆的圆心 $R$ 也在同一条垂直平分线上，且 $RP_1 = 5 + r$ ，所以 $RM = \sqrt{(5+r)^2 - 25}$ $= \sqrt{r^2 + 10r}$ 。

小圆嵌在另外三个圆之间，所以 $R$ 位于 $M$ 和 $Q$ 之间；它与半径为 $8$ 的圆外切，故因此 $\sqrt{r^2 + 10r} = 4 - r$ ，平方得 $r^2 + 10r = 16 - 8r + r^2$ ，所以 $18r = 16$ ，即 $r = \frac{8}{9}$ 。 $12 - \sqrt{r^2 + 10r} = 8 + r.$

因此 $m + n = 8 + 9 = 17$ 。

Let the radius- $5$ circles have centers $P_1$ and $P_2,$ so $P_1P_2 = 5 + 5 = 10,$ and let $M$ be the midpoint. The radius- $8$ circle's center $Q$ satisfies $QP_1 = QP_2 = 13,$ so $Q$ lies on the perpendicular bisector of $\overline{P_1P_2}$ at distance $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ from $M.$ Likewise the fourth circle, of radius $r,$ has its center $R$ on the same perpendicular bisector with $RP_1 = 5 + r,$ so $RM = \sqrt{(5+r)^2 - 25}$ $= \sqrt{r^2 + 10r}.$

The small circle nestles in the space between the other three, so $R$ is between $M$ and $Q,$ and external tangency to the radius- $8$ circle gives $12 - \sqrt{r^2 + 10r} = 8 + r.$ Then $\sqrt{r^2 + 10r} = 4 - r,$ and squaring yields $r^2 + 10r = 16 - 8r + r^2,$ so $18r = 16$ and $r = \frac{8}{9}.$

Thus $m + n = 8 + 9 = 17.$

1997 AIME 第 4 题

答案：17

难度评级：2390

解答：

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