Question

求下列方程的最小正整数解： $\tan(19x^\circ)=\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}\text{。}$

Find the smallest positive integer solution to $\tan(19x^\circ)=\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}.$

答案

答案：159

知识点：三角恒等式模运算一次方程

难度评级：1900

小提示：

用正切加法公式识别方程右边的表达式

Recognize the right-hand side using the tangent addition formula

大提示：

对模 $180$ 的同余方程求解

Solve the resulting congruence modulo $180$

解答：

由正切加法公式， $\begin{gathered}\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}\\=\tan(45^\circ+96^\circ)\\=\tan141^\circ\end{gathered}\text{。}$ 因此 $19x\equiv141\pmod {180}$ 。由于 $19^2=361\equiv1\pmod {180}$ ，两边乘以 $19$ ，得到 $x\equiv19\cdot141\equiv159\pmod {180}\text{。}$ 最小正整数解为 $159$ 。

The tangent addition formula gives $\begin{gathered}\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}\\=\tan(45^\circ+96^\circ)\\=\tan141^\circ.\end{gathered}$ Hence $19x\equiv141\pmod {180}.$ Since $19^2=361\equiv1\pmod {180},$ multiplying by $19$ gives $x\equiv19\cdot141\equiv159\pmod {180}.$ The smallest positive solution is $159.$

1996 AIME 第 10 题

答案：159

难度评级：1900

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题