1992 AMC 8 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

40:00

1.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\scriptsize \dfrac{10 - 9 + 8 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3 + 2 - 1}{1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9}$

What is the value of the following expression?

$\scriptsize \dfrac{10 - 9 + 8 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3 + 2 - 1}{1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9}$

$-1$

$1$

$5$

$9$

$10$

Respuesta: B

Conceptos:orden de las operaciones emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Agrupa el numerador en parejas $(10-9),$ $(8-7),$ $\ldots$ , y haz lo mismo con el denominador.

Group the numerator into pairs $(10-9),$ $(8-7),$ $\ldots$ , and do the same for the denominator

Pista grande:

Cada pareja del numerador vale $1$ ; en el denominador agrupa $(1-2),$ $(3-4),$ $\ldots$ , donde cada pareja vale $-1$ , y sobra un $+9.$

Each numerator pair equals $1$ ; in the denominator group $(1-2),$ $(3-4),$ $\ldots$ , where each pair is $-1$ , with a $+9$ left over

Solución:

Agrupar el numerador en parejas da $(10-9)$ $+ (8-7)$ $+ (6-5)$ $+ (4-3)$ $+ (2-1) = 5.$

Agrupar el denominador como $(1-2)$ $+ (3-4)$ $+ (5-6)$ $+ (7-8)$ $+ 9$ da cuatro parejas de $-1$ más $9$ , lo que es $5.$

Así, la expresión es $\dfrac{5}{5} = 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Grouping the numerator in pairs gives $(10-9)$ $+ (8-7)$ $+ (6-5)$ $+ (4-3)$ $+ (2-1) = 5.$

Grouping the denominator as $(1-2)$ $+ (3-4)$ $+ (5-6)$ $+ (7-8)$ $+ 9$ gives four pairs of $-1$ plus $9$ , which is $5.$

So the expression is $\dfrac{5}{5} = 1.$

Thus, the correct answer is B .

2.

¿Cuál de las siguientes no es igual a $\dfrac54$ ?

Which of the following is not equal to $\dfrac54?$

$\dfrac{10}{8}$

$1\dfrac14$

$1\dfrac{3}{12}$

$1\dfrac15$

$1\dfrac{10}{40}$

Respuesta: D

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Reescribe $\dfrac54$ como el número mixto $1\dfrac14.$

Rewrite $\dfrac54$ as the mixed number $1\dfrac14$

Pista grande:

Un número mixto $1\dfrac{a}{b}$ es igual a $\dfrac54$ solo cuando $\dfrac{a}{b} = \dfrac14$ ; revisa cada opción.

A mixed number $1\dfrac{a}{b}$ equals $\dfrac54$ only when $\dfrac{a}{b} = \dfrac14$ ; check each choice

Solución:

Observa que $\dfrac54 = 1\dfrac14.$ Ahora revisa cada opción: $\dfrac{10}{8} = \dfrac54,$ $1\dfrac14 = \dfrac54,$ $1\dfrac{3}{12} = 1\dfrac14 = \dfrac54$ y $1\dfrac{10}{40} = 1\dfrac14 = \dfrac54.$

Pero $1\dfrac15 = \dfrac65 \neq \dfrac54.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Note $\dfrac54 = 1\dfrac14.$ Now check each choice: $\dfrac{10}{8} = \dfrac54,$ $1\dfrac14 = \dfrac54,$ $1\dfrac{3}{12} = 1\dfrac14 = \dfrac54,$ and $1\dfrac{10}{40} = 1\dfrac14 = \dfrac54.$

But $1\dfrac15 = \dfrac65 \neq \dfrac54.$

Thus, the correct answer is D .

3.

¿Cuál es la mayor diferencia que se puede formar restando dos números elegidos del conjunto $\{-16, -4, 0, 2, 4, 12\}$ ?

What is the largest difference that can be formed by subtracting two numbers chosen from the set $\{-16, -4, 0, 2, 4, 12\}?$

$10$

$12$

$16$

$28$

$48$

Respuesta: D

Conceptos:optimización

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Una diferencia es máxima cuando restas el número más pequeño del número más grande.

A difference is largest when you subtract the smallest number from the largest number

Pista grande:

Restar un negativo equivale a sumar; calcula $12 - (-16).$

Subtracting a negative adds; compute $12 - (-16)$

Solución:

La mayor diferencia usa el número más grande, $12$ , menos el número más pequeño, $-16.$

Esto da $12 - (-16) = 28.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The largest difference uses the largest number, $12$ , minus the smallest number, $-16.$

This gives $12 - (-16) = 28.$

Thus, the correct answer is D .

4.

Durante la temporada de sóftbol, Judy consiguió $35$ hits. Entre ellos hubo $1$ jonrón, $1$ triple y $5$ dobles. Los demás fueron sencillos. ¿Qué porcentaje de sus hits fueron sencillos?

During the softball season, Judy had $35$ hits. Among her hits were $1$ home run, $1$ triple, and $5$ doubles. The rest of her hits were singles. What percent of her hits were singles?

$28\%$

$35\%$

$70\%$

$75\%$

$80\%$

Respuesta: E

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Primero halla cuántos hits no fueron sencillos.

First find how many hits were not singles

Pista grande:

Sencillos $= 35 - (1+1+5)$ ; divide entre $35$ y conviértelo en porcentaje.

Singles $= 35 - (1+1+5)$ ; divide by $35$ and convert to a percent

Solución:

Los hits que no son sencillos suman $1 + 1 + 5 = 7,$ así que los sencillos son $35 - 7 = 28.$

La fracción de sencillos es $\dfrac{28}{35} = \dfrac45 = 80\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The non-single hits number $1 + 1 + 5 = 7,$ so the singles number $35 - 7 = 28.$

The fraction of singles is $\dfrac{28}{35} = \dfrac45 = 80\%.$

Thus, the correct answer is E .

5.

Como se muestra, se quita un círculo de diámetro $1$ de un rectángulo de $2 \times 3$ . ¿Qué número entero está más cerca del área de la región sombreada?

A circle of diameter $1$ is removed from a $2 \times 3$ rectangle, as shown. Which whole number is closest to the area of the shaded region?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: E

Conceptos:área del círculo descomposición de áreas estimación

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

El rectángulo tiene área $2 \times 3 = 6$ ; resta el área del círculo.

The rectangle has area $2 \times 3 = 6$ ; subtract the area of the circle

Pista grande:

El círculo tiene radio $\dfrac12,$ así que su área es $\pi\left(\dfrac12\right)^2 = \dfrac{\pi}{4},$ un poco menos que $1.$

The circle has radius $\dfrac12,$ so its area is $\pi\left(\dfrac12\right)^2 = \dfrac{\pi}{4},$ a little less than $1$

Solución:

El rectángulo tiene área $6,$ y el círculo quitado tiene área $\pi\left(\dfrac12\right)^2 = \dfrac{\pi}{4} \approx 0.79.$

Así, la región sombreada tiene área $6 - 0.79 \approx 5.2,$ cuyo entero más cercano es $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The rectangle has area $6,$ and the removed circle has area $\pi\left(\dfrac12\right)^2 = \dfrac{\pi}{4} \approx 0.79.$

So the shaded region has area $6 - 0.79 \approx 5.2,$ whose closest whole number is $5.$

Thus, the correct answer is E .

6.

Una expresión en forma de triángulo con entrada superior $a$ , entrada inferior izquierda $b$ y entrada inferior derecha $c$ representa $a+b-c$ , como se muestra. ¿Cuál es la suma indicada?

A triangular expression with top entry $a$ , lower-left entry $b$ , and lower-right entry $c$ means $a+b-c$ , as shown below. What is the indicated sum?

$-2$

$-1$

$0$

$1$

$2$

Respuesta: D

Conceptos:operación personalizada

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Aplica la regla a cada terna por separado: el superior más el inferior izquierdo menos el inferior derecho.

Apply the rule to each triple separately: top plus lower-left minus lower-right

Pista grande:

Calcula $(1 + 3 - 4)$ y $(2 + 5 - 6),$ luego suma los dos resultados.

Compute $(1 + 3 - 4)$ and $(2 + 5 - 6),$ then add the two results

Solución:

La primera terna da $1 + 3 - 4 = 0,$ y la segunda da $2 + 5 - 6 = 1.$

Su suma es $0 + 1 = 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The first triple gives $1 + 3 - 4 = 0,$ and the second gives $2 + 5 - 6 = 1.$

Their sum is $0 + 1 = 1.$

Thus, the correct answer is D .

7.

La suma de dígitos de $998$ es $9 + 9 + 8 = 26.$ ¿Cuántos números enteros de $3$ dígitos, cuya suma de dígitos es $26$ , son pares?

The digit-sum of $998$ is $9 + 9 + 8 = 26.$ How many $3$ -digit whole numbers, whose digit-sum is $26$ , are even?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: A

Conceptos:dígitos paridad

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Una suma de dígitos de $26$ obliga a que los tres dígitos sean muy grandes.

A digit-sum of $26$ forces the three digits to be very large

Pista grande:

Los únicos dígitos que funcionan son $9,$ $9$ y $8$ ; enumera los ordenamientos y quédate con los pares.

The only digits that work are $9,$ $9,$ and $8$ ; list the arrangements and keep the even ones

Solución:

Una suma de dígitos de $26$ con tres dígitos exige los dígitos $9,$ $9$ y $8.$ Los números de $3$ dígitos que los usan son $899,$ $989$ y $998.$

De estos, solo $998$ es par, así que hay exactamente $1$ número de ese tipo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A digit-sum of $26$ with three digits requires the digits $9,$ $9,$ and $8.$ The $3$ -digit numbers using them are $899,$ $989,$ and $998.$

Of these, only $998$ is even, so there is exactly $1$ such number.

Thus, the correct answer is A .

8.

Un dueño de tienda compró $1500$ lápices a $\$0.10$ cada uno. Si los vende a $\$0.25$ cada uno, ¿cuántos debe vender para obtener una ganancia de exactamente $\$100.00$ ?

A store owner bought $1500$ pencils at $\$0.10$ each. If he sells them for $\$0.25$ each, how many of them must he sell to make a profit of exactly $\$100.00?$

$400$

$667$

$1000$

$1500$

$1900$

Respuesta: C

Conceptos:dinero

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Primero halla el costo total de los $1500$ lápices.

First find the total cost of the $1500$ pencils

Pista grande:

Los ingresos deben ser el costo más $\$100;$ divide esos ingresos necesarios entre el precio de $\$0.25.$

The revenue must be the cost plus $\$100;$ divide that needed revenue by the $\$0.25$ price

Solución:

Los lápices cuestan $1500 \times \$0.10 = \$150.$ Para obtener una ganancia de $\$100,$ los ingresos deben ser $\$150 + \$100 = \$250.$

A $\$0.25$ cada uno, debe vender $\dfrac{\$250}{\$0.25} = 1000$ lápices.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The pencils cost $1500 \times \$0.10 = \$150.$ To make a $\$100$ profit, the revenue must be $\$150 + \$100 = \$250.$

At $\$0.25$ each, he must sell $\dfrac{\$250}{\$0.25} = 1000$ pencils.

Thus, the correct answer is C .

9.

La población de un pueblo pequeño es $480.$ La gráfica indica la cantidad de mujeres y hombres del pueblo, pero se omiten los valores de la escala vertical. Las barras marcadas $F$ y $M$ representan mujeres y hombres, respectivamente. ¿Cuántos hombres viven en el pueblo?

The population of a small town is $480.$ The graph indicates the numbers of females and males in the town, but the vertical scale values are omitted. The bars labeled $F$ and $M$ represent females and males, respectively. How many males live in the town?

$120$

$160$

$200$

$240$

$360$

Respuesta: B

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Sea $M$ el número de hombres; entonces el número de mujeres es $2M.$

Let the number of males be $M$ ; then the number of females is $2M$

Pista grande:

Como $M + 2M = 480,$ resuelve $3M = 480.$

Since $M + 2M = 480,$ solve $3M = 480$

Solución:

Si hay $M$ hombres, entonces hay $2M$ mujeres, y juntos $M + 2M = 480.$

Así, $3M = 480,$ lo que da $M = 160.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If there are $M$ males, then there are $2M$ females, and together $M + 2M = 480.$

So $3M = 480,$ giving $M = 160.$

Thus, the correct answer is B .

10.

Un triángulo rectángulo isósceles con catetos de longitud $8$ se divide en $16$ triángulos congruentes como se muestra. El área sombreada es

An isosceles right triangle with legs of length $8$ is partitioned into $16$ congruent triangles as shown. The shaded area is

$10$

$20$

$32$

$40$

$64$

Respuesta: B

Conceptos:área del triángulo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

El triángulo completo tiene área $\dfrac12 \times 8 \times 8 = 32,$ dividida en $16$ partes iguales.

The whole triangle has area $\dfrac12 \times 8 \times 8 = 32,$ split into $16$ equal pieces

Pista grande:

Cada triángulo pequeño tiene área $2$ ; cuenta cuántos están sombreados.

Each small triangle has area $2$ ; count how many are shaded

Solución:

El triángulo grande tiene área $\dfrac12 \times 8 \times 8 = 32,$ así que cada uno de los $16$ triángulos pequeños congruentes tiene área $\dfrac{32}{16} = 2.$

Diez de los triángulos pequeños están sombreados, así que el área sombreada es $10 \times 2 = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The large triangle has area $\dfrac12 \times 8 \times 8 = 32,$ so each of the $16$ congruent small triangles has area $\dfrac{32}{16} = 2.$

Ten of the small triangles are shaded, so the shaded area is $10 \times 2 = 20.$

Thus, the correct answer is B .

11.

La gráfica de barras muestra los resultados de una encuesta sobre preferencias de color. De izquierda a derecha, las barras representan rojo, azul, marrón, rosa y verde. ¿Qué porcentaje prefirió el azul?

The bar graph shows the results of a survey on color preferences. From left to right, the bars represent red, blue, brown, pink, and green. What percent preferred blue?

$20\%$

$24\%$

$30\%$

$36\%$

$42\%$

Respuesta: B

Conceptos:interpretación de datos y gráficas porcentaje

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Suma los cinco conteos para obtener el número total de personas encuestadas.

Add the five counts to get the total number of people surveyed

Pista grande:

Divide la cantidad de personas que prefieren el azul entre el total y convierte el resultado en porcentaje.

The percent preferring blue is (blue count) divided by (total), converted to a percent

Solución:

El número total de encuestados es $50 + 60 + 40 + 60 + 40 = 250.$

El porcentaje que prefiere el azul es $\dfrac{60}{250} = 24\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The total number surveyed is $50 + 60 + 40 + 60 + 40 = 250.$

The percent preferring blue is $\dfrac{60}{250} = 24\%.$

Thus, the correct answer is B .

12.

Los cinco neumáticos de un auto (cuatro neumáticos de carretera y una llanta de refacción de tamaño completo) se rotaron de modo que cada neumático se usara la misma cantidad de millas durante las primeras $30{,}000$ millas que el auto recorrió. ¿Durante cuántas millas se usó cada neumático?

The five tires of a car (four road tires and a full-sized spare) were rotated so that each tire was used the same number of miles during the first $30{,}000$ miles the car traveled. For how many miles was each tire used?

$6000$

$7500$

$24{,}000$

$30{,}000$

$37{,}500$

Respuesta: C

Conceptos:tasa

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

En cualquier momento $4$ de los $5$ neumáticos están en el suelo, así que el kilometraje total de neumáticos es $4 \times 30{,}000.$

At any moment $4$ of the $5$ tires are on the ground, so the total tire-mileage is $4 \times 30{,}000$

Pista grande:

Reparte ese kilometraje total de neumáticos por igual entre los $5$ neumáticos.

Share that total tire-mileage equally among the $5$ tires

Solución:

Durante las $30{,}000$ millas, siempre hay $4$ neumáticos en uso, así que el kilometraje total de neumáticos es $4 \times 30{,}000 = 120{,}000$ neumático-millas.

Repartido por igual entre $5$ neumáticos, cada neumático se usa $\dfrac{120{,}000}{5} = 24{,}000$ millas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

During the $30{,}000$ miles, $4$ tires are always in use, so the total tire-mileage is $4 \times 30{,}000 = 120{,}000$ tire-miles.

Split equally among $5$ tires, each tire is used $\dfrac{120{,}000}{5} = 24{,}000$ miles.

Thus, the correct answer is C .

13.

Cinco calificaciones de examen tienen una media (calificación promedio) de $90,$ una mediana (calificación central) de $91$ y una moda (calificación más frecuente) de $94.$ La suma de las dos calificaciones más bajas es

Five test scores have a mean (average score) of $90,$ a median (middle score) of $91,$ and a mode (most frequent score) of $94.$ The sum of the two lowest test scores is

$170$

$171$

$176$

$177$

no se puede determinar con la información dada

not determined by the information given

Respuesta: B

Conceptos:media mediana (datos)moda

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Las cinco calificaciones suman $5 \times 90 = 450,$ y la calificación central es $91.$

The five scores add up to $5 \times 90 = 450,$ and the middle score is $91$

Pista grande:

La moda $94$ debe aparecer al menos dos veces, y ambas copias deben estar en o por encima de la mediana, así que las tres calificaciones más altas son $91,$ $94$ y $94.$

The mode $94$ must appear at least twice, and both copies must be at or above the median, so the three highest scores are $91,$ $94,$ and $94$

Solución:

Las cinco calificaciones suman $5 \times 90 = 450.$ La mediana es la tercera calificación, $91.$ Como $94$ es la moda, debe aparecer al menos dos veces, y ambas copias están por encima de la mediana, así que las dos calificaciones más altas son $94$ y $94.$

Las tres calificaciones más altas son $91,$ $94$ y $94,$ que suman $279.$ Así, las dos más bajas suman $450 - 279 = 171.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The five scores sum to $5 \times 90 = 450.$ The median is the third score, $91.$ Since $94$ is the mode, it must appear at least twice, and both copies lie above the median, so the two highest scores are $94$ and $94.$

The three highest scores are $91,$ $94,$ and $94,$ summing to $279.$ So the two lowest sum to $450 - 279 = 171.$

Thus, the correct answer is B .

14.

Cuando se agregan cuatro galones a un tanque que está lleno hasta un tercio, el tanque queda lleno hasta la mitad. La capacidad del tanque en galones es

When four gallons are added to a tank that is one-third full, the tank is then one-half full. The capacity of the tank in gallons is

$8$

$12$

$20$

$24$

$48$

Respuesta: D

Conceptos:fracción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

Agregar $4$ galones eleva el tanque de $\dfrac13$ lleno a $\dfrac12$ lleno.

Adding $4$ gallons raises the tank from $\dfrac13$ full to $\dfrac12$ full

Pista grande:

Así, $4$ galones equivalen a $\dfrac12 - \dfrac13 = \dfrac16$ de la capacidad.

So $4$ gallons equals $\dfrac12 - \dfrac13 = \dfrac16$ of the capacity

Solución:

Los $4$ galones corresponden al cambio de $\dfrac13$ lleno a $\dfrac12$ lleno, que es $\dfrac12 - \dfrac13 = \dfrac16$ de la capacidad.

Si $\dfrac16$ de la capacidad es $4$ galones, la capacidad total es $4 \times 6 = 24$ galones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The $4$ gallons account for the change from $\dfrac13$ full to $\dfrac12$ full, which is $\dfrac12 - \dfrac13 = \dfrac16$ of the capacity.

If $\dfrac16$ of the capacity is $4$ gallons, the full capacity is $4 \times 6 = 24$ gallons.

Thus, the correct answer is D .

15.

¿Cuál es la letra número $1992$ de esta secuencia?

ABCDEDCBAABCDEDCBAABCDEDCBAABCDEDC $\cdots$

What is the $1992$ nd letter in this sequence?

ABCDEDCBAABCDEDCBAABCDEDCBAABCDEDC $\cdots$

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

Respuesta: C

Conceptos:aritmética modular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 910

Pista pequeña:

La cadena $ABCDEDCBA$ se repite una y otra vez; cuenta cuántas letras hay en un bloque.

The string $ABCDEDCBA$ repeats over and over; count how many letters are in one block

Pista grande:

Un bloque tiene $9$ letras, así que divide $1992$ entre $9$ y usa el residuo para encontrar la posición dentro de un bloque.

One block has $9$ letters, so divide $1992$ by $9$ and use the remainder to find the position within a block

Solución:

La secuencia es el bloque de $9$ letras $ABCDEDCBA$ repetido una y otra vez.

Como $1992 = 9 \times 221 + 3,$ la letra número $1992$ es la $3$ .ª letra de un bloque, que es $C.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The sequence is the $9$ -letter block $ABCDEDCBA$ repeated again and again.

Since $1992 = 9 \times 221 + 3,$ the $1992$ nd letter is the $3$ rd letter of a block, which is $C.$

Thus, the correct answer is C .

16.

¿Qué cilindro tiene el doble del volumen del cilindro mostrado a la derecha?

Which cylinder has twice the volume of the cylinder shown at right?

Ninguna de las anteriores

None of the above

Respuesta: B

Conceptos:cilindro volumen

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

El volumen de un cilindro es $\pi r^2 h$ ; primero calcula el volumen del cilindro dado.

The volume of a cylinder is $\pi r^2 h$ ; first compute the volume of the given cylinder

Pista grande:

Duplicar la altura duplica el volumen, pero duplicar el radio multiplica el volumen por $4$ ; revisa las etiquetas $r$ y $h$ en cada opción.

Doubling the height doubles the volume, but doubling the radius multiplies the volume by $4$ ; check the $r$ and $h$ labels on each choice

Solución:

El cilindro dado tiene volumen $\pi \times 10^2 \times 5 = 500\pi,$ así que un cilindro del doble del volumen tiene volumen $1000\pi.$

Las opciones tienen volúmenes $\pi \times 20^2 \times 5 = 2000\pi$ (A), $\pi \times 10^2 \times 10 = 1000\pi$ (B), $\pi \times 5^2 \times 20 = 500\pi$ (C) y $\pi \times 20^2 \times 10 = 4000\pi$ (D). Solo (B) es igual a $1000\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The given cylinder has volume $\pi \times 10^2 \times 5 = 500\pi,$ so a cylinder of twice the volume has volume $1000\pi.$

The choices have volumes $\pi \times 20^2 \times 5 = 2000\pi$ (A), $\pi \times 10^2 \times 10 = 1000\pi$ (B), $\pi \times 5^2 \times 20 = 500\pi$ (C), and $\pi \times 20^2 \times 10 = 4000\pi$ (D). Only (B) equals $1000\pi.$

Thus, the correct answer is B .

17.

Los lados de un triángulo tienen longitudes $6.5,$ $10$ y $s,$ donde $s$ es un número entero. ¿Cuál es el menor valor posible de $s$ ?

The sides of a triangle have lengths $6.5,$ $10,$ and $s,$ where $s$ is a whole number. What is the smallest possible value of $s?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Respuesta: B

Conceptos:desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Para un triángulo, los dos lados más cortos deben sumar más que el lado más largo.

For a triangle, the two shorter sides must add to more than the longest side

Pista grande:

Necesitas $6.5 + s \gt 10$ ; encuentra el menor número entero $s.$

You need $6.5 + s \gt 10$ ; find the smallest whole number $s$

Solución:

Por la desigualdad triangular, $6.5 + s$ debe superar el lado más largo $10,$ así que $s \gt 3.5.$

El menor número entero mayor que $3.5$ es $4,$ y sí forma un triángulo válido.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By the triangle inequality, $6.5 + s$ must exceed the longest side $10,$ so $s \gt 3.5.$

The smallest whole number greater than $3.5$ is $4,$ and it does form a valid triangle.

Thus, the correct answer is B .

18.

En un viaje, un auto recorrió $80$ millas en una hora y media, luego estuvo detenido en el tráfico durante $30$ minutos y después recorrió $100$ millas durante las siguientes $2$ horas. ¿Cuál fue la velocidad promedio del auto en millas por hora durante el viaje de $4$ horas?

On a trip, a car traveled $80$ miles in an hour and a half, then was stopped in traffic for $30$ minutes, then traveled $100$ miles during the next $2$ hours. What was the car’s average speed in miles per hour for the $4$ -hour trip?

$45$

$50$

$60$

$75$

$90$

Respuesta: A

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

La velocidad promedio es la distancia total dividida entre el tiempo total.

Average speed is total distance divided by total time

Pista grande:

La distancia total es $80 + 100$ millas; el tiempo total es $1.5 + 0.5 + 2 = 4$ horas, ya que la parada también cuenta.

Total distance is $80 + 100$ miles; total time is $1.5 + 0.5 + 2 = 4$ hours, since the stop still counts

Solución:

El auto recorrió $80 + 100 = 180$ millas en total, en $1.5 + 0.5 + 2 = 4$ horas (la parada en el tráfico también cuenta como tiempo).

La velocidad promedio es $\dfrac{180}{4} = 45$ millas por hora.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The car covered $80 + 100 = 180$ miles in total, over $1.5 + 0.5 + 2 = 4$ hours (the traffic stop still counts as time).

The average speed is $\dfrac{180}{4} = 45$ miles per hour.

Thus, the correct answer is A .

19.

La distancia entre la salida número $5$ y la salida número $26$ de una autopista interestatal es $118$ millas. Si dos salidas cualesquiera están separadas al menos $5$ millas, ¿cuál es el mayor número de millas que puede haber entre dos salidas consecutivas que estén entre la salida número $5$ y la salida número $26$ ?

The distance between the $5$ th and $26$ th exits on an interstate highway is $118$ miles. If any two exits are at least $5$ miles apart, then what is the largest number of miles there can be between two consecutive exits that are between the $5$ th and $26$ th exits?

$8$

$13$

$18$

$47$

$98$

Respuesta: C

Conceptos:argumento extremal

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Entre la salida número $5$ y la salida número $26$ hay $21$ intervalos.

Between the $5$ th and $26$ th exits there are $21$ gaps

Pista grande:

Para hacer un intervalo lo más grande posible, haz los otros $20$ intervalos tan pequeños como se permite, $5$ millas cada uno.

To make one gap as large as possible, make the other $20$ gaps as small as allowed, $5$ miles each

Solución:

Desde la salida número $5$ hasta la salida número $26$ hay $26 - 5 = 21$ intervalos entre salidas consecutivas, cada uno de al menos $5$ millas.

Para maximizar un intervalo, haz los otros $20$ intervalos exactamente de $5$ millas, usando $20 \times 5 = 100$ millas. El intervalo restante es $118 - 100 = 18$ millas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

From the $5$ th exit to the $26$ th exit there are $26 - 5 = 21$ gaps between consecutive exits, each at least $5$ miles.

To maximize one gap, make the other $20$ gaps exactly $5$ miles, using $20 \times 5 = 100$ miles. The remaining gap is $118 - 100 = 18$ miles.

Thus, the correct answer is C .

20.

¿Qué patrón de cuadrados idénticos no se puede plegar a lo largo de las líneas mostradas para formar un cubo?

Which pattern of identical squares could not be folded along the lines shown to form a cube?

Respuesta: D

Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)geometría del cubo

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

Un cubo tiene $6$ caras, así que cada patrón tiene $6$ cuadrados; intenta plegar cada uno en tu mente.

A cube has $6$ faces, so each pattern has $6$ squares; try folding each one up in your mind

Pista grande:

Sigue dónde cae cada cuadrado al plegar el patrón; un patrón falla cuando dos cuadrados cubrirían la misma cara.

Track where each square lands as the pattern folds; a pattern fails when two squares would cover the same face

Solución:

Cada uno de los cinco patrones tiene $6$ cuadrados. Plegar los patrones (A), (B), (C) y (E) envuelve los cuadrados de forma ordenada sobre las seis caras de un cubo.

Para el patrón (D), cualquier intento de plegar obliga a que dos de los cuadrados caigan sobre la misma cara, así que se superponen y no se puede formar ningún cubo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each of the five patterns has $6$ squares. Folding patterns (A), (B), (C), and (E) wraps the squares neatly onto the six faces of a cube.

For pattern (D), any attempt to fold forces two of the squares to land on the same face, so they overlap and no cube can be formed.

Thus, the correct answer is D .

21.

La banda de tambores y cornetas de Northside recaudó dinero para un viaje. Los tamborileros y los cornetistas llevaron registros de ventas por separado. En cada par de la gráfica, la barra sin sombrear representa las ventas de los tamborileros y la barra sombreada representa las ventas de los cornetistas. Según la gráfica de doble barra de ventas mensuales de abajo, ¿en qué mes las ventas de un grupo superaron a las del otro por el mayor porcentaje?

Northside’s Drum and Bugle Corps raised money for a trip. The drummers and bugle players kept separate sales records. In each pair on the graph, the open bar represents drums and the shaded bar represents bugles. According to the double bar graph of monthly sales below, in what month did one group’s sales exceed the other’s by the greatest percent?

enero

Jan

febrero

Feb

marzo

Mar

abril

Apr

mayo

May

Respuesta: B

Conceptos:interpretación de datos y gráficas porcentaje

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Para cada mes, lee las dos alturas de las barras y encuentra la diferencia entre ellas.

For each month, read off the two bar heights and find the gap between them

Pista grande:

Divide la diferencia entre el valor menor para hallar el porcentaje en que el mayor lo supera; compara esta razón entre los meses.

Divide the difference by the smaller value to find the percent by which the larger exceeds it; compare this ratio across the months

Solución:

Leer la gráfica da (tambores, cornetas): enero $(7, 9),$ febrero $(5, 3),$ marzo $(9, 6),$ abril $(9, 12)$ y mayo $(8, 10).$

El exceso porcentual del mayor sobre el menor es $\tfrac{2}{7} \approx 29\%$ en enero, $\tfrac{2}{3} \approx 67\%$ en febrero, $\tfrac{3}{6} = 50\%$ en marzo, $\tfrac{3}{9} \approx 33\%$ en abril, y $\tfrac{2}{8} = 25\%$ en mayo. El mayor es febrero, donde $5$ supera a $3$ por cerca de $67\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Reading the graph gives (drums, bugles): January $(7, 9),$ February $(5, 3),$ March $(9, 6),$ April $(9, 12),$ and May $(8, 10).$

The percent excess of the larger over the smaller is $\tfrac{2}{7} \approx 29\%$ in January, $\tfrac{2}{3} \approx 67\%$ in February, $\tfrac{3}{6} = 50\%$ in March, $\tfrac{3}{9} \approx 33\%$ in April, and $\tfrac{2}{8} = 25\%$ in May. The greatest is February, where $5$ exceeds $3$ by about $67\%.$

Thus, the correct answer is B .

22.

Ocho baldosas cuadradas de $1 \times 1$ están dispuestas como se muestra, de modo que sus bordes exteriores forman un polígono con un perímetro de $14$ unidades. Se agregan dos baldosas del mismo tamaño de modo que al menos un lado de cada baldosa agregada se comparta con un lado de uno de los cuadrados de la figura original. ¿Cuál de las siguientes podría ser el perímetro de la nueva figura?

Eight $1 \times 1$ square tiles are arranged as shown so their outside edges form a polygon with a perimeter of $14$ units. Two additional tiles of the same size are added to the figure so that at least one side of each added tile is shared with a side of one of the squares in the original figure. Which of the following could be the perimeter of the new figure?

$15$

$17$

$18$

$19$

$20$

Respuesta: C

Conceptos:perímetro análisis por casos

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Agregar una baldosa que comparte exactamente un lado cambia el perímetro en $+2$ ; compartir dos lados lo cambia en $0.$

Adding a tile that shares exactly one side changes the perimeter by $+2$ ; sharing two sides changes it by $0$

Pista grande:

Con dos baldosas agregadas, el cambio total puede ser $0,$ $2$ o $4$ ; suma estos a $14.$

With two added tiles, the total change can be $0,$ $2,$ or $4$ ; add these to $14$

Solución:

Una baldosa que comparte exactamente un lado añade $2$ al perímetro (cuatro bordes nuevos menos dos ocultos), mientras que una baldosa que comparte dos lados añade $0.$

Con dos baldosas agregadas el perímetro puede cambiar en $0,$ $2$ o $4,$ dando nuevos perímetros de $14,$ $16$ o $18.$ De las opciones, solo $18$ es posible.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A tile that shares exactly one side adds $2$ to the perimeter (four new edges minus two hidden), while a tile sharing two sides adds $0.$

With two added tiles the perimeter can change by $0,$ $2,$ or $4,$ giving new perimeters of $14,$ $16,$ or $18.$ Of the choices, only $18$ is possible.

Thus, the correct answer is C .

23.

Si se lanzan dos dados, la probabilidad de que el producto de los números que aparecen en las caras superiores de los dados sea mayor que $10$ es

If two dice are tossed, the probability that the product of the numbers showing on the tops of the dice is greater than $10$ is

$\dfrac37$

$\dfrac{17}{36}$

$\dfrac12$

$\dfrac58$

$\dfrac{11}{12}$

Respuesta: B

Conceptos:dados (probabilidad)enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Hay $6 \times 6 = 36$ resultados igualmente probables; cuenta los que tienen producto mayor que $10.$

There are $6 \times 6 = 36$ equally likely outcomes; count those whose product exceeds $10$

Pista grande:

Haz una tabla de multiplicar de $6 \times 6$ y marca cada producto mayor que $10.$

Make a $6 \times 6$ multiplication table and mark every product greater than $10$

Solución:

Hay $36$ resultados igualmente probables. Contando los pares ordenados cuyo producto supera $10$ : con un primer dado de $2$ hay $1$ (a saber, $2 \times 6$ ); de $3$ , hay $3$ ; de $4$ , hay $4$ ; de $5$ , hay $4$ ; de $6$ , hay $5.$

Es decir, $1 + 3 + 4 + 4 + 5 = 17$ resultados favorables, así que la probabilidad es $\dfrac{17}{36}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $36$ equally likely outcomes. Counting the ordered pairs whose product exceeds $10$ : with a first die of $2$ there is $1$ (namely $2 \times 6$ ); of $3$ , there are $3$ ; of $4$ , there are $4$ ; of $5$ , there are $4$ ; of $6$ , there are $5.$

That is $1 + 3 + 4 + 4 + 5 = 17$ favorable outcomes, so the probability is $\dfrac{17}{36}.$

Thus, the correct answer is B .

24.

Cuatro círculos de radio $3$ están dispuestos como se muestra. Sus centros son los vértices de un cuadrado. El área de la región sombreada es más cercana a

Four circles of radius $3$ are arranged as shown. Their centers are the vertices of a square. The area of the shaded region is closest to

$7.7$

$12.1$

$17.2$

$18$

$27$

Respuesta: A

Conceptos:área del círculo descomposición de áreas estimación

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Como los círculos vecinos son tangentes, el lado del cuadrado equivale a dos radios, así que su lado es $6$ y su área es $36.$

Since neighboring circles are tangent, the square’s side equals two radii, so its side is $6$ and its area is $36$

Pista grande:

Los cuatro cuartos de círculo dentro del cuadrado juntos forman un círculo completo de área $9\pi$ ; resta eso del cuadrado.

The four quarter-circles inside the square together make one full circle of area $9\pi$ ; subtract that from the square

Solución:

Como los círculos adyacentes son tangentes, el cuadrado que pasa por los centros tiene lado $2 \times 3 = 6$ y área $36.$

Dentro del cuadrado, cada círculo aporta un cuarto de círculo y los cuatro cuartos forman un círculo completo de área $9\pi \approx 28.3.$ La región sombreada es $36 - 9\pi \approx 7.7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Because adjacent circles are tangent, the square through the centers has side $2 \times 3 = 6$ and area $36.$

Inside the square, each circle contributes a quarter-circle, and the four quarters make one full circle of area $9\pi \approx 28.3.$ The shaded region is $36 - 9\pi \approx 7.7.$

Thus, the correct answer is A .

25.

Se vierte la mitad del agua de un recipiente lleno. Luego se vierte un tercio del resto. Continúa el proceso: un cuarto del resto en el tercer vertido, un quinto del resto en el cuarto vertido y así sucesivamente. ¿Después de cuántos vertidos queda exactamente una décima parte del agua original?

One half of the water is poured out of a full container. Then one third of the remainder is poured out. Continue the process: one fourth of the remainder for the third pouring, one fifth of the remainder for the fourth pouring, and so on. After how many pourings does exactly one tenth of the original water remain?

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Respuesta: D

Conceptos:telescópica fracción

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Después del primer vertido queda $\dfrac12$ ; después del segundo queda $\dfrac12 \times \dfrac23.$

After the first pouring $\dfrac12$ remains; after the second $\dfrac12 \times \dfrac23$ remains

Pista grande:

La fracción restante se telescopa: después de $n$ vertidos es $\dfrac{1}{n+1}$ ; iguala esto a $\dfrac{1}{10}.$

The remaining fraction telescopes: after $n$ pourings it is $\dfrac{1}{n+1}$ ; set this equal to $\dfrac{1}{10}$

Solución:

Después del $n$ .º vertido, la fracción restante es $\dfrac12 \times \dfrac23 \times \dfrac34 \times \cdots \times \dfrac{n}{n+1},$ que se telescopa a $\dfrac{1}{n+1}.$

Igualar $\dfrac{1}{n+1} = \dfrac{1}{10}$ da $n = 9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

After the $n$ th pouring, the fraction remaining is $\dfrac12 \times \dfrac23 \times \dfrac34 \times \cdots \times \dfrac{n}{n+1},$ which telescopes to $\dfrac{1}{n+1}.$

Setting $\dfrac{1}{n+1} = \dfrac{1}{10}$ gives $n = 9.$

Thus, the correct answer is D .

Problemas del 1992 AMC 8

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Pista grande: