Soluciones del 1992 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\scriptsize \dfrac{10 - 9 + 8 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3 + 2 - 1}{1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9}$

What is the value of the following expression?

$\scriptsize \dfrac{10 - 9 + 8 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3 + 2 - 1}{1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9}$

$-1$

$1$

$5$

$9$

$10$

Conceptos:orden de las operaciones emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 720

Solución:

Agrupar el numerador en parejas da $(10-9)$ $+ (8-7)$ $+ (6-5)$ $+ (4-3)$ $+ (2-1) = 5.$

Agrupar el denominador como $(1-2)$ $+ (3-4)$ $+ (5-6)$ $+ (7-8)$ $+ 9$ da cuatro parejas de $-1$ más $9$ , lo que es $5.$

Así, la expresión es $\dfrac{5}{5} = 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B .

Grouping the numerator in pairs gives $(10-9)$ $+ (8-7)$ $+ (6-5)$ $+ (4-3)$ $+ (2-1) = 5.$

Grouping the denominator as $(1-2)$ $+ (3-4)$ $+ (5-6)$ $+ (7-8)$ $+ 9$ gives four pairs of $-1$ plus $9$ , which is $5.$

So the expression is $\dfrac{5}{5} = 1.$

Thus, the correct answer is B .

2.

¿Cuál de las siguientes no es igual a $\dfrac54$ ?

Which of the following is not equal to $\dfrac54?$

$\dfrac{10}{8}$

$1\dfrac14$

$1\dfrac{3}{12}$

$1\dfrac15$

$1\dfrac{10}{40}$

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Observa que $\dfrac54 = 1\dfrac14.$ Ahora revisa cada opción: $\dfrac{10}{8} = \dfrac54,$ $1\dfrac14 = \dfrac54,$ $1\dfrac{3}{12} = 1\dfrac14 = \dfrac54,$ y $1\dfrac{10}{40} = 1\dfrac14 = \dfrac54.$

Pero $1\dfrac15 = \dfrac65 \neq \dfrac54.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D .

Note $\dfrac54 = 1\dfrac14.$ Now check each choice: $\dfrac{10}{8} = \dfrac54,$ $1\dfrac14 = \dfrac54,$ $1\dfrac{3}{12} = 1\dfrac14 = \dfrac54,$ and $1\dfrac{10}{40} = 1\dfrac14 = \dfrac54.$

But $1\dfrac15 = \dfrac65 \neq \dfrac54.$

Thus, the correct answer is D .

3.

¿Cuál es la mayor diferencia que se puede formar restando dos números elegidos del conjunto $\{-16, -4, 0, 2, 4, 12\}$ ?

What is the largest difference that can be formed by subtracting two numbers chosen from the set $\{-16, -4, 0, 2, 4, 12\}?$

$10$

$12$

$16$

$28$

$48$

Conceptos:optimización

Nivel de dificultad: 450

Solución:

La mayor diferencia usa el número más grande, $12$ , menos el número más pequeño, $-16.$

Esto da $12 - (-16) = 28.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D .

The largest difference uses the largest number, $12$ , minus the smallest number, $-16.$

This gives $12 - (-16) = 28.$

Thus, the correct answer is D .

4.

Durante la temporada de softball, Judy tuvo $35$ hits. Entre sus hits hubo $1$ home run, $1$ triple y $5$ dobles. El resto de sus hits fueron sencillos. ¿Qué porcentaje de sus hits fueron sencillos?

During the softball season, Judy had $35$ hits. Among her hits were $1$ home run, $1$ triple, and $5$ doubles. The rest of her hits were singles. What percent of her hits were singles?

$28\%$

$35\%$

$70\%$

$75\%$

$80\%$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 720

Solución:

Los hits que no son sencillos suman $1 + 1 + 5 = 7,$ así que los sencillos son $35 - 7 = 28.$

La fracción de sencillos es $\dfrac{28}{35} = \dfrac45 = 80\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E .

The non-single hits number $1 + 1 + 5 = 7,$ so the singles number $35 - 7 = 28.$

The fraction of singles is $\dfrac{28}{35} = \dfrac45 = 80\%.$

Thus, the correct answer is E .

5.

De un rectángulo de $2 \times 3$ se quita un círculo de diámetro $1$ . ¿Qué número entero está más cerca del área de la región sombreada que queda?

A circle of diameter $1$ is removed from a $2 \times 3$ rectangle. Which whole number is closest to the area of the shaded region that remains?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:área del círculo descomposición de áreas estimación

Nivel de dificultad: 820

Solución:

El rectángulo tiene área $6,$ y el círculo quitado tiene área $\pi\left(\dfrac12\right)^2 = \dfrac{\pi}{4} \approx 0.79.$

Así, la región sombreada tiene área $6 - 0.79 \approx 5.2,$ cuyo entero más cercano es $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E .

The rectangle has area $6,$ and the removed circle has area $\pi\left(\dfrac12\right)^2 = \dfrac{\pi}{4} \approx 0.79.$

So the shaded region has area $6 - 0.79 \approx 5.2,$ whose closest whole number is $5.$

Thus, the correct answer is E .

6.

Define una operación sobre tres números, un número superior, un número inferior izquierdo y un número inferior derecho, cuyo valor es (número superior) $+$ (número inferior izquierdo) $-$ (número inferior derecho). Por ejemplo, superior $5$ , inferior izquierdo $4$ , inferior derecho $6$ da $5 + 4 - 6 = 3.$ ¿Cuál es la suma de la operación aplicada a superior $1$ , inferior izquierdo $3$ , inferior derecho $4$ y la operación aplicada a superior $2$ , inferior izquierdo $5$ , inferior derecho $6$ ?

Define an operation on three numbers—a top number, a lower-left number, and a lower-right number—whose value is (top number) $+$ (lower-left number) $-$ (lower-right number). For example, top $5$ , lower-left $4$ , lower-right $6$ gives $5 + 4 - 6 = 3.$ What is the sum of the operation applied to top $1$ , lower-left $3$ , lower-right $4$ and the operation applied to top $2$ , lower-left $5$ , lower-right $6?$

$-2$

$-1$

$0$

$1$

$2$

Conceptos:operación personalizada

Nivel de dificultad: 820

Solución:

La primera terna da $1 + 3 - 4 = 0,$ y la segunda da $2 + 5 - 6 = 1.$

Su suma es $0 + 1 = 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D .

The first triple gives $1 + 3 - 4 = 0,$ and the second gives $2 + 5 - 6 = 1.$

Their sum is $0 + 1 = 1.$

Thus, the correct answer is D .

7.

La suma de dígitos de $998$ es $9 + 9 + 8 = 26.$ ¿Cuántos números enteros de $3$ dígitos, cuya suma de dígitos es $26$ , son pares?

The digit-sum of $998$ is $9 + 9 + 8 = 26.$ How many $3$ -digit whole numbers, whose digit-sum is $26$ , are even?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:dígitos paridad

Nivel de dificultad: 900

Solución:

Una suma de dígitos de $26$ con tres dígitos exige los dígitos $9, 9, 8.$ Los números de $3$ dígitos que los usan son $899, 989,$ y $998.$

De estos, solo $998$ es par, así que hay exactamente $1$ número de ese tipo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A .

A digit-sum of $26$ with three digits requires the digits $9, 9, 8.$ The $3$ -digit numbers using them are $899, 989,$ and $998.$

Of these, only $998$ is even, so there is exactly $1$ such number.

Thus, the correct answer is A .

8.

Un dueño de tienda compró $1500$ lápices a $0.10 cada uno. Si los vende a $0.25 cada uno, ¿cuántos debe vender para obtener una ganancia de exactamente $100.00?

A store owner bought $1500$ pencils at $0.10 each. If he sells them for $0.25 each, how many of them must he sell to make a profit of exactly $100.00?

$400$

$667$

$1000$

$1500$

$1900$

Conceptos:dinero

Nivel de dificultad: 900

Solución:

Los lápices cuestan $1500 \times \$0.10 = \$150.$ Para obtener una ganancia de $100, los ingresos deben ser $\$150 + \$100 = \$250.$

A $0.25 cada uno, debe vender $\dfrac{\$250}{\$0.25} = 1000$ lápices.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C .

The pencils cost $1500 \times \$0.10 = \$150.$ To make a $100 profit, the revenue must be $\$150 + \$100 = \$250.$

At $0.25 each, he must sell $\dfrac{\$250}{\$0.25} = 1000$ pencils.

Thus, the correct answer is C .

9.

La población de un pueblo pequeño es $480.$ Una gráfica de barras del número de mujeres y hombres, con la escala vertical omitida, muestra que hay el doble de mujeres que de hombres. ¿Cuántos hombres viven en el pueblo?

The population of a small town is $480.$ A bar graph of the number of females and males, with the vertical scale omitted, shows that there are twice as many females as males. How many males live in the town?

$120$

$160$

$200$

$240$

$360$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 720

Solución:

Si hay $M$ hombres, entonces hay $2M$ mujeres, y juntos $M + 2M = 480.$

Así, $3M = 480,$ lo que da $M = 160.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B .

If there are $M$ males, then there are $2M$ females, and together $M + 2M = 480.$

So $3M = 480,$ giving $M = 160.$

Thus, the correct answer is B .

10.

Un triángulo rectángulo isósceles con catetos de longitud $8$ se divide en $16$ triángulos congruentes como se muestra. El área sombreada es

An isosceles right triangle with legs of length $8$ is partitioned into $16$ congruent triangles as shown. The shaded area is

$10$

$20$

$32$

$40$

$64$

Conceptos:área del triángulo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 930

Solución:

El triángulo grande tiene área $\dfrac12 \times 8 \times 8 = 32,$ así que cada uno de los $16$ triángulos pequeños congruentes tiene área $\dfrac{32}{16} = 2.$

Diez de los triángulos pequeños están sombreados, así que el área sombreada es $10 \times 2 = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B .

The large triangle has area $\dfrac12 \times 8 \times 8 = 32,$ so each of the $16$ congruent small triangles has area $\dfrac{32}{16} = 2.$

Ten of the small triangles are shaded, so the shaded area is $10 \times 2 = 20.$

Thus, the correct answer is B .

11.

Una encuesta sobre preferencias de color dio estos resultados: rojo $50,$ azul $60,$ marrón $40,$ rosa $60,$ verde $40.$ ¿Qué porcentaje prefirió el azul?

A survey on color preferences gave these results: red $50,$ blue $60,$ brown $40,$ pink $60,$ green $40.$ What percent preferred blue?

$20\%$

$24\%$

$30\%$

$36\%$

$42\%$

Conceptos:interpretación de datos y gráficas porcentaje

Nivel de dificultad: 770

Solución:

El número total de encuestados es $50 + 60 + 40 + 60 + 40 = 250.$

El porcentaje que prefiere el azul es $\dfrac{60}{250} = 24\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B .

The total number surveyed is $50 + 60 + 40 + 60 + 40 = 250.$

The percent preferring blue is $\dfrac{60}{250} = 24\%.$

Thus, the correct answer is B .

12.

Los cinco neumáticos de un auto (cuatro neumáticos de carretera y una llanta de refacción de tamaño completo) se rotaron de modo que cada neumático se usara la misma cantidad de millas durante las primeras $30{,}000$ millas que el auto recorrió. ¿Cuántas millas se usó cada neumático?

The five tires of a car (four road tires and a full-sized spare) were rotated so that each tire was used the same number of miles during the first $30{,}000$ miles the car traveled. For how many miles was each tire used?

$6000$

$7500$

$24{,}000$

$30{,}000$

$37{,}500$

Conceptos:tasa

Nivel de dificultad: 980

Solución:

Durante las $30{,}000$ millas, siempre hay $4$ neumáticos en uso, así que el kilometraje total de neumáticos es $4 \times 30{,}000 = 120{,}000$ neumático-millas.

Repartido por igual entre $5$ neumáticos, cada neumático se usa $\dfrac{120{,}000}{5} = 24{,}000$ millas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C .

During the $30{,}000$ miles, $4$ tires are always in use, so the total tire-mileage is $4 \times 30{,}000 = 120{,}000$ tire-miles.

Split equally among $5$ tires, each tire is used $\dfrac{120{,}000}{5} = 24{,}000$ miles.

Thus, the correct answer is C .

13.

Cinco calificaciones de examen tienen una media (calificación promedio) de $90,$ una mediana (calificación central) de $91,$ y una moda (calificación más frecuente) de $94.$ La suma de las dos calificaciones más bajas es

Five test scores have a mean (average score) of $90,$ a median (middle score) of $91,$ and a mode (most frequent score) of $94.$ The sum of the two lowest test scores is

$170$

$171$

$176$

$177$

no se puede determinar con la información dada

not determined by the information given

Conceptos:media mediana (datos)moda

Nivel de dificultad: 1060

Solución:

Las cinco calificaciones suman $5 \times 90 = 450.$ La mediana es la tercera calificación, $91.$ Como $94$ es la moda, debe aparecer al menos dos veces, y ambas copias están por encima de la mediana, así que las dos calificaciones más altas son $94, 94.$

Las tres calificaciones más altas son $91, 94, 94,$ que suman $279.$ Así, las dos más bajas suman $450 - 279 = 171.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B .

The five scores sum to $5 \times 90 = 450.$ The median is the third score, $91.$ Since $94$ is the mode, it must appear at least twice, and both copies lie above the median, so the two highest scores are $94, 94.$

The three highest scores are $91, 94, 94,$ summing to $279.$ So the two lowest sum to $450 - 279 = 171.$

Thus, the correct answer is B .

14.

Cuando se agregan cuatro galones a un tanque que está lleno hasta un tercio, el tanque queda lleno hasta la mitad. La capacidad del tanque en galones es

When four gallons are added to a tank that is one-third full, the tank is then one-half full. The capacity of the tank in gallons is

$8$

$12$

$20$

$24$

$48$

Conceptos:fracción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 930

Solución:

Los $4$ galones corresponden al cambio de $\dfrac13$ lleno a $\dfrac12$ lleno, que es $\dfrac12 - \dfrac13 = \dfrac16$ de la capacidad.

Si $\dfrac16$ de la capacidad es $4$ galones, la capacidad total es $4 \times 6 = 24$ galones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D .

The $4$ gallons account for the change from $\dfrac13$ full to $\dfrac12$ full, which is $\dfrac12 - \dfrac13 = \dfrac16$ of the capacity.

If $\dfrac16$ of the capacity is $4$ gallons, the full capacity is $4 \times 6 = 24$ gallons.

Thus, the correct answer is D .

15.

¿Cuál es la letra número $1992$ de esta secuencia?

ABCDEDCBAABCDEDCBAABCDEDCBAABCDEDC $\cdots$

What is the $1992$ nd letter in this sequence?

ABCDEDCBAABCDEDCBAABCDEDCBAABCDEDC $\cdots$

A

B

C

D

E

Conceptos:aritmética modular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 910

Solución:

La secuencia es el bloque de $9$ letras $ABCDEDCBA$ repetido una y otra vez.

Como $1992 = 9 \times 221 + 3,$ la letra número $1992$ es la $3$ .ª letra de un bloque, que es $C.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C .

The sequence is the $9$ -letter block $ABCDEDCBA$ repeated again and again.

Since $1992 = 9 \times 221 + 3,$ the $1992$ nd letter is the $3$ rd letter of a block, which is $C.$

Thus, the correct answer is C .

16.

¿Cuál cilindro tiene el doble del volumen del cilindro mostrado a la derecha?

Which cylinder has twice the volume of the cylinder shown at right?

Ninguna de las anteriores

None of the above

Conceptos:cilindro volumen

Nivel de dificultad: 980

Solución:

El cilindro dado tiene volumen $\pi \times 10^2 \times 5 = 500\pi,$ así que un cilindro del doble del volumen tiene volumen $1000\pi.$

Las opciones tienen volúmenes $\pi \times 20^2 \times 5 = 2000\pi$ (A), $\pi \times 10^2 \times 10 = 1000\pi$ (B), $\pi \times 5^2 \times 20 = 500\pi$ (C), y $\pi \times 20^2 \times 10 = 4000\pi$ (D). Solo (B) es igual a $1000\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B .

The given cylinder has volume $\pi \times 10^2 \times 5 = 500\pi,$ so a cylinder of twice the volume has volume $1000\pi.$

The choices have volumes $\pi \times 20^2 \times 5 = 2000\pi$ (A), $\pi \times 10^2 \times 10 = 1000\pi$ (B), $\pi \times 5^2 \times 20 = 500\pi$ (C), and $\pi \times 20^2 \times 10 = 4000\pi$ (D). Only (B) equals $1000\pi.$

Thus, the correct answer is B .

17.

Los lados de un triángulo tienen longitudes $6.5,$ $10,$ y $s,$ donde $s$ es un número entero. ¿Cuál es el menor valor posible de $s$ ?

The sides of a triangle have lengths $6.5,$ $10,$ and $s,$ where $s$ is a whole number. What is the smallest possible value of $s?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 960

Solución:

Por la desigualdad triangular, $6.5 + s$ debe superar el lado más largo $10,$ así que $s \gt 3.5.$

El menor número entero mayor que $3.5$ es $4,$ y sí forma un triángulo válido.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B .

By the triangle inequality, $6.5 + s$ must exceed the longest side $10,$ so $s \gt 3.5.$

The smallest whole number greater than $3.5$ is $4,$ and it does form a valid triangle.

Thus, the correct answer is B .

18.

En un viaje, un auto recorrió $80$ millas en una hora y media, luego estuvo detenido en el tráfico durante $30$ minutos, y después recorrió $100$ millas durante las siguientes $2$ horas. ¿Cuál fue la velocidad promedio del auto en millas por hora durante el viaje de $4$ horas?

On a trip, a car traveled $80$ miles in an hour and a half, then was stopped in traffic for $30$ minutes, then traveled $100$ miles during the next $2$ hours. What was the car's average speed in miles per hour for the $4$ -hour trip?

$45$

$50$

$60$

$75$

$90$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 930

Solución:

El auto recorrió $80 + 100 = 180$ millas en total, en $1.5 + 0.5 + 2 = 4$ horas (la parada en el tráfico también cuenta como tiempo).

La velocidad promedio es $\dfrac{180}{4} = 45$ millas por hora.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A .

The car covered $80 + 100 = 180$ miles in total, over $1.5 + 0.5 + 2 = 4$ hours (the traffic stop still counts as time).

The average speed is $\dfrac{180}{4} = 45$ miles per hour.

Thus, the correct answer is A .

19.

La distancia entre la salida número $5$ y la salida número $26$ de una autopista interestatal es $118$ millas. Si dos salidas cualesquiera están separadas al menos $5$ millas, ¿cuál es el mayor número de millas que puede haber entre dos salidas consecutivas que estén entre la salida número $5$ y la salida número $26$ ?

The distance between the $5$ th and $26$ th exits on an interstate highway is $118$ miles. If any two exits are at least $5$ miles apart, then what is the largest number of miles there can be between two consecutive exits that are between the $5$ th and $26$ th exits?

$8$

$13$

$18$

$47$

$98$

Conceptos:argumento extremal

Nivel de dificultad: 1110

Solución:

Desde la salida número $5$ hasta la salida número $26$ hay $26 - 5 = 21$ intervalos entre salidas consecutivas, cada uno de al menos $5$ millas.

Para maximizar un intervalo, haz los otros $20$ intervalos exactamente de $5$ millas, usando $20 \times 5 = 100$ millas. El intervalo restante es $118 - 100 = 18$ millas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C .

From the $5$ th exit to the $26$ th exit there are $26 - 5 = 21$ gaps between consecutive exits, each at least $5$ miles.

To maximize one gap, make the other $20$ gaps exactly $5$ miles, using $20 \times 5 = 100$ miles. The remaining gap is $118 - 100 = 18$ miles.

Thus, the correct answer is C .

20.

¿Cuál patrón de cuadrados idénticos no se puede plegar a lo largo de las líneas mostradas para formar un cubo?

Which pattern of identical squares could not be folded along the lines shown to form a cube?

Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)geometría del cubo

Nivel de dificultad: 1090

Solución:

Cada uno de los cinco patrones tiene $6$ cuadrados. Plegar los patrones (A), (B), (C) y (E) envuelve los cuadrados de forma ordenada sobre las seis caras de un cubo.

Para el patrón (D), cualquier intento de plegar obliga a que dos de los cuadrados caigan sobre la misma cara, así que se superponen y no se puede formar ningún cubo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D .

Each of the five patterns has $6$ squares. Folding patterns (A), (B), (C), and (E) wraps the squares neatly onto the six faces of a cube.

For pattern (D), any attempt to fold forces two of the squares to land on the same face, so they overlap and no cube can be formed.

Thus, the correct answer is D .

21.

La banda de tambores y cornetas de Northside recaudó dinero para un viaje. Los tamborileros y los cornetistas llevaron registros de ventas por separado. Según la gráfica de doble barra de ventas mensuales de abajo, ¿en qué mes las ventas de un grupo superaron a las del otro por el mayor porcentaje?

Northside's Drum and Bugle Corps raised money for a trip. The drummers and bugle players kept separate sales records. According to the double bar graph of monthly sales below, in what month did one group's sales exceed the other's by the greatest percent?

enero

Jan

febrero

Feb

marzo

Mar

abril

Apr

mayo

May

Conceptos:interpretación de datos y gráficas porcentaje

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

Leer la gráfica da (tambores, cornetas): enero $(7, 9),$ febrero $(5, 3),$ marzo $(9, 6),$ abril $(9, 12),$ y mayo $(8, 10).$

El exceso porcentual del mayor sobre el menor es $\tfrac{2}{7} \approx 29\%$ en enero, $\tfrac{2}{3} \approx 67\%$ en febrero, $\tfrac{3}{6} = 50\%$ en marzo, $\tfrac{3}{9} \approx 33\%$ en abril, y $\tfrac{2}{8} = 25\%$ en mayo. El mayor es febrero, donde $5$ supera a $3$ por cerca de $67\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B .

Reading the graph gives (drums, bugles): January $(7, 9),$ February $(5, 3),$ March $(9, 6),$ April $(9, 12),$ and May $(8, 10).$

The percent excess of the larger over the smaller is $\tfrac{2}{7} \approx 29\%$ in January, $\tfrac{2}{3} \approx 67\%$ in February, $\tfrac{3}{6} = 50\%$ in March, $\tfrac{3}{9} \approx 33\%$ in April, and $\tfrac{2}{8} = 25\%$ in May. The greatest is February, where $5$ exceeds $3$ by about $67\%.$

Thus, the correct answer is B .

22.

Ocho baldosas cuadradas de $1 \times 1$ se disponen de modo que sus bordes exteriores forman un polígono con un perímetro de $14$ unidades. Se agregan dos baldosas adicionales del mismo tamaño a la figura de modo que al menos un lado de cada baldosa agregada se comparta con un lado de uno de los cuadrados originales. ¿Cuál de las siguientes podría ser el perímetro de la nueva figura?

Eight $1 \times 1$ square tiles are arranged so their outside edges form a polygon with a perimeter of $14$ units. Two additional tiles of the same size are added to the figure so that at least one side of each added tile is shared with a side of one of the original squares. Which of the following could be the perimeter of the new figure?

$15$

$17$

$18$

$19$

$20$

Conceptos:perímetro análisis por casos

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

Una baldosa que comparte exactamente un lado añade $2$ al perímetro (cuatro bordes nuevos menos dos ocultos), mientras que una baldosa que comparte dos lados añade $0.$

Con dos baldosas agregadas el perímetro puede cambiar en $0,$ $2,$ o $4,$ dando nuevos perímetros de $14,$ $16,$ o $18.$ De las opciones, solo $18$ es posible.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C .

A tile that shares exactly one side adds $2$ to the perimeter (four new edges minus two hidden), while a tile sharing two sides adds $0.$

With two added tiles the perimeter can change by $0,$ $2,$ or $4,$ giving new perimeters of $14,$ $16,$ or $18.$ Of the choices, only $18$ is possible.

Thus, the correct answer is C .

23.

Si se lanzan dos dados, la probabilidad de que el producto de los números que aparecen en las caras superiores de los dados sea mayor que $10$ es

If two dice are tossed, the probability that the product of the numbers showing on the tops of the dice is greater than $10$ is

$\dfrac37$

$\dfrac{17}{36}$

$\dfrac12$

$\dfrac58$

$\dfrac{11}{12}$

Conceptos:dados (probabilidad)enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1150

Solución:

Hay $36$ resultados igualmente probables. Contando los pares ordenados cuyo producto supera $10$ : con un primer dado de $2$ hay $1$ (a saber, $2 \times 6$ ); de $3$ , hay $3$ ; de $4$ , hay $4$ ; de $5$ , hay $4$ ; de $6$ , hay $5.$

Es decir, $1 + 3 + 4 + 4 + 5 = 17$ resultados favorables, así que la probabilidad es $\dfrac{17}{36}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B .

There are $36$ equally likely outcomes. Counting the ordered pairs whose product exceeds $10$ : with a first die of $2$ there is $1$ (namely $2 \times 6$ ); of $3$ , there are $3$ ; of $4$ , there are $4$ ; of $5$ , there are $4$ ; of $6$ , there are $5.$

That is $1 + 3 + 4 + 4 + 5 = 17$ favorable outcomes, so the probability is $\dfrac{17}{36}.$

Thus, the correct answer is B .

24.

Cuatro círculos de radio $3$ se disponen de modo que sus centros son los vértices de un cuadrado y cada círculo es tangente a sus dos vecinos. La región sombreada es la parte del cuadrado que queda fuera de los cuatro círculos. El área de la región sombreada es más cercana a

Four circles of radius $3$ are arranged so that their centers are the vertices of a square and each circle is tangent to its two neighbors. The shaded region is the part of the square that lies outside all four circles. The area of the shaded region is closest to

$7.7$

$12.1$

$17.2$

$18$

$27$

Conceptos:área del círculo descomposición de áreas estimación

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

Como los círculos adyacentes son tangentes, el cuadrado que pasa por los centros tiene lado $2 \times 3 = 6$ y área $36.$

Dentro del cuadrado, cada círculo aporta un cuarto de círculo, y los cuatro cuartos forman un círculo completo de área $9\pi \approx 28.3.$ La región sombreada es $36 - 9\pi \approx 7.7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A .

Because adjacent circles are tangent, the square through the centers has side $2 \times 3 = 6$ and area $36.$

Inside the square, each circle contributes a quarter-circle, and the four quarters make one full circle of area $9\pi \approx 28.3.$ The shaded region is $36 - 9\pi \approx 7.7.$

Thus, the correct answer is A .

25.

Se vierte la mitad del agua de un recipiente lleno. Luego se vierte un tercio del resto. Continúa el proceso: un cuarto del resto en el tercer vertido, un quinto del resto en el cuarto vertido, y así sucesivamente. ¿Después de cuántos vertidos queda exactamente una décima parte del agua original?

One half of the water is poured out of a full container. Then one third of the remainder is poured out. Continue the process: one fourth of the remainder for the third pouring, one fifth of the remainder for the fourth pouring, and so on. After how many pourings does exactly one tenth of the original water remain?

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:telescópica fracción

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Después del $n$ .º vertido, la fracción restante es $\dfrac12 \times \dfrac23 \times \dfrac34 \times \cdots \times \dfrac{n}{n+1},$ que se telescopa a $\dfrac{1}{n+1}.$

Igualar $\dfrac{1}{n+1} = \dfrac{1}{10}$ da $n = 9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D .

After the $n$ th pouring, the fraction remaining is $\dfrac12 \times \dfrac23 \times \dfrac34 \times \cdots \times \dfrac{n}{n+1},$ which telescopes to $\dfrac{1}{n+1}.$

Setting $\dfrac{1}{n+1} = \dfrac{1}{10}$ gives $n = 9.$

Thus, the correct answer is D .