2026 AIME II 第 4 题

Question

对每个正整数

n

，令

f(n)

为把通常写法

n

看作

b

进制数时的数值，其中

b

是大于

n

中最大数字的最小整数。例如，若

n = 72

，则

b = 8

，而

72

作为

8

进制数等于

7 \cdot 8 + 2 = 58

；因此

f(72) = 58

。求小于

1000

且满足

f(n) = n

的正整数

n

的个数。

For each positive integer

n

let

f(n)

be the value of the base-ten numeral

n

viewed in base

b,

where

b

is the least integer greater than the greatest digit in

n.

For example, if

n = 72,

then

b = 8,

and

72

as a numeral in base

8

equals

7 \cdot 8 + 2 = 58;

therefore

f(72) = 58.

Find the number of positive integers

n

less than

1000

such that

f(n) = n.

答案

答案：279

知识点：进制数字补集计数

难度评级：2300

小提示：

一位数在任何进制中读出的值都相同。对更长的数，比较位值：若

b \lt 10

，每个数字的权重都比通常写法中小。

One-digit numbers read the same in every base. For longer numerals compare place values: if

b \lt 10,

each digit is worth less than in base ten.

大提示：

所以多位数解恰好是含有数字

9

的数；用补集计数。

So the multi-digit solutions are exactly the numbers containing a digit

9;

count those with complementary counting.

解答：

若

n

是一位数

d

，则数字

d

在任何进制下的值都是

d

，所以

f(n) = n

；全部

9

个一位正整数都可行。若

n

的数字为

d_{k-1} \ldots d_1 d_0

，其中

k \ge 2

，则总有

b \le 10

；若

b \lt 10

，则

f(n) = \sum d_i b^i \lt \sum d_i 10^i = n

，因为最高位满足

d_{k-1} b^{k-1} \lt d_{k-1} 10^{k-1}

。所以多位数

n

满足

f(n) = n

当且仅当

b = 10

，也就是

n

的某个数字等于

9

。

含有

9

的两位数有

90

到

99

，以及

19, 29, \ldots, 89

，共有

10 + 8 = 18

个。含有

9

的三位数有

900 - 8 \cdot 9 \cdot 9 = 252

个，这是从所有三位数中减去不含

9

的数（首位为

1

到

8

，其余位为

0

到

8

）。

总数为

9 + 18 + 252 = 279

。

If

n

has a single digit

d,

then the numeral

d

has value

d

in every base, so

f(n) = n:

all

9

one-digit numbers work. If

n

has digits

d_{k-1} \ldots d_1 d_0

with

k \ge 2,

then

b \le 10

always, and if

b \lt 10

then

f(n) = \sum d_i b^i \lt \sum d_i 10^i = n

because the leading digit satisfies

d_{k-1} b^{k-1} \lt d_{k-1} 10^{k-1}.

So a multi-digit

n

satisfies

f(n) = n

exactly when

b = 10,

that is, when some digit of

n

equals

9.

Two-digit numbers containing a

9:

the numbers

90

through

99

plus

19, 29, \ldots, 89,

for

10 + 8 = 18.

Three-digit numbers containing a

9:

900 - 8 \cdot 9 \cdot 9 = 252,

subtracting the numbers with no

9

(leading digit

1

–

8,

others

0

–

8

).

The total is

9 + 18 + 252 = 279.

2026 AIME II 第 4 题

答案：279

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

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