Question

对每个正整数 $n$ ，令 $f(n)$ 为把通常写法 $n$ 看作 $b$ 进制数时的数值，其中 $b$ 是大于 $n$ 中最大数字的最小整数。例如，若 $n = 72$ ，则 $b = 8$ ，而 $72$ 作为 $8$ 进制数等于 $7 \cdot 8 + 2 = 58$ ；因此 $f(72) = 58$ 。求小于 $1000$ 且满足 $f(n) = n$ 的正整数 $n$ 的个数。

For each positive integer $n$ let $f(n)$ be the value of the base-ten numeral $n$ viewed in base $b,$ where $b$ is the least integer greater than the greatest digit in $n.$ For example, if $n = 72,$ then $b = 8,$ and $72$ as a numeral in base $8$ equals $7 \cdot 8 + 2 = 58;$ therefore $f(72) = 58.$ Find the number of positive integers $n$ less than $1000$ such that $f(n) = n.$

答案

答案：279

知识点：进制数字补集计数

难度评级：2300

解答：

若 $n$ 是一位数 $d$ ，则数字 $d$ 在任何进制下的值都是 $d$ ，所以 $f(n) = n$ ；全部 $9$ 个一位正整数都可行。若 $n$ 的数字为 $d_{k-1} \ldots d_1 d_0$ ，其中 $k \ge 2$ ，则总有 $b \le 10$ ；若 $b \lt 10$ ，则 $f(n) = \sum d_i b^i \lt \sum d_i 10^i = n$ ，因为最高位满足 $d_{k-1} b^{k-1} \lt d_{k-1} 10^{k-1}$ 。所以多位数 $n$ 满足 $f(n) = n$ 当且仅当 $b = 10$ ，也就是 $n$ 的某个数字等于 $9$ 。

含有 $9$ 的两位数有 $90$ 到 $99$ ，以及 $19, 29, \ldots, 89$ ，共有 $10 + 8 = 18$ 个。含有 $9$ 的三位数有 $900 - 8 \cdot 9 \cdot 9 = 252$ 个，这是从所有三位数中减去不含 $9$ 的数（首位为 $1$ 到 $8$ ，其余位为 $0$ 到 $8$ ）。

总数为 $9 + 18 + 252 = 279$ 。

If $n$ has a single digit $d,$ then the numeral $d$ has value $d$ in every base, so $f(n) = n:$ all $9$ one-digit numbers work. If $n$ has digits $d_{k-1} \ldots d_1 d_0$ with $k \ge 2,$ then $b \le 10$ always, and if $b \lt 10$ then $f(n) = \sum d_i b^i \lt \sum d_i 10^i = n$ because the leading digit satisfies $d_{k-1} b^{k-1} \lt d_{k-1} 10^{k-1}.$ So a multi-digit $n$ satisfies $f(n) = n$ exactly when $b = 10,$ that is, when some digit of $n$ equals $9.$

Two-digit numbers containing a $9:$ the numbers $90$ through $99$ plus $19, 29, \ldots, 89,$ for $10 + 8 = 18.$ Three-digit numbers containing a $9:$ $900 - 8 \cdot 9 \cdot 9 = 252,$ subtracting the numbers with no $9$ (leading digit $1$ – $8,$ others $0$ – $8$ ).

The total is $9 + 18 + 252 = 279.$

2026 AIME II 第 4 题

答案：279

难度评级：2300

解答：

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