Question

矩形 $ABCD$ 的边长为 $AB = 107$ 和 $BC = 16$ ，矩形 $EFGH$ 的边长为 $EF = 184$ 和 $FG = 17$ 点 $D$ 、 $E$ 、 $C$ 、 $F$ 按这个顺序位于直线 $DF$ 上，且 $A$ 与 $H$ 位于直线 $DF$ 的两侧，如图所示。点 $A$ 、 $D$ 、 $H$ 、 $G$ 共圆。求 $CE$ 。

Rectangle $ABCD$ has dimensions $AB = 107$ and $BC = 16,$ and rectangle $EFGH$ has dimensions $EF = 184$ and $FG = 17.$ Points $D,$ $E,$ $C,$ and $F$ lie on line $DF$ in that order, and $A$ and $H$ lie on opposite sides of line $DF,$ as shown. Points $A,$ $D,$ $H,$ and $G$ lie on a common circle. Find $CE.$

答案

答案：104

知识点：坐标几何圆垂直平分线

难度评级：2390

解答：

将直线 $DF$ 放在 $x$ 轴上，令 $D = (0, 0)$ 且 $C = (107, 0)$ ，于是 $A = (0, -16)$ 。设 $DE = e$ 。那么 $E = (e, 0)$ 、 $F = (e + 184, 0)$ ，第二个矩形位于直线上方： $H = (e, 17)$ 、 $G = (e + 184, 17)$ 。

经过 $A$ 、 $D$ 、 $H$ 、 $G$ 的圆的圆心，既在竖直线段 $\overline{AD}$ 的垂直平分线 $y = -8$ 上，也在水平线段 $\overline{HG}$ 的垂直平分线 $x = e + 92$ 上。令圆心到 $D$ 和到 $H$ 的距离平方相等， $\begin{aligned} &(e + 92)^2 + 8^2 \\ &= 92^2 + 25^2 = 9089, \end{aligned}$ 所以 $(e + 92)^2 = 9025$ ，且 $e + 92 = 95$ ，得到 $e = 3$ 。

因此 $CE = DC - DE$ $= 107 - 3 = 104$ 。

Put line $DF$ on the $x$ -axis with $D = (0, 0)$ and $C = (107, 0),$ so $A = (0, -16).$ Let $DE = e.$ Then $E = (e, 0),$ $F = (e + 184, 0),$ and the second rectangle sits above the line: $H = (e, 17)$ and $G = (e + 184, 17).$

The center of the circle through $A,$ $D,$ $H,$ $G$ lies on the perpendicular bisector of the vertical segment $\overline{AD},$ the line $y = -8,$ and on the perpendicular bisector of the horizontal segment $\overline{HG},$ the line $x = e + 92.$ Equating the center's squared distances to $D$ and to $H,$ $\begin{aligned} &(e + 92)^2 + 8^2 \\ &= 92^2 + 25^2 = 9089, \end{aligned}$ so $(e + 92)^2 = 9025$ and $e + 92 = 95,$ giving $e = 3.$

Therefore $CE = DC - DE$ $= 107 - 3 = 104.$

2024 AIME I 第 5 题

答案：104

难度评级：2390

解答：

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