Question

存在实数 $x$ 和 $y$ ，且二者都大于 $1$ ，使得 $\log_x\left(y^x\right) = \log_y\left(x^{4y}\right) = 10$ 。求 $xy$ 。

There exist real numbers $x$ and $y,$ both greater than $1,$ such that $\log_x\left(y^x\right) = \log_y\left(x^{4y}\right) = 10.$ Find $xy.$

答案

答案：25

知识点：对数代数变形

难度评级：2070

解答：

将指数从对数中提出来，条件变为 $x \log_x y = 10$ 和 $4y \log_y x = 10.$ 两式相乘，并使用 $\log_x y \cdot \log_y x = 1$ ，得到 $4xy = 100$ ，所以 $xy = 25$ 。

这样的 $x$ 和 $y$ 的确存在：该系统可化为 $\log_x y = \frac{10}{x}$ ，且 $y = \frac{25}{x}$ ，它有满足 $x, y \gt 1$ 的解，因此答案为 $25$ 。

Pulling the exponents out of the logarithms, the conditions become $x \log_x y = 10$ and $4y \log_y x = 10.$ Multiplying these equations and using $\log_x y \cdot \log_y x = 1$ gives $4xy = 100,$ so $xy = 25.$

Such $x$ and $y$ do exist: the system solves to $\log_x y = \frac{10}{x}$ with $y = \frac{25}{x},$ which has a solution with $x, y \gt 1,$ so the answer is $25.$

2024 AIME I 第 2 题

答案：25

难度评级：2070

解答：

其他年份的第 2 题