2024 AIME I 第 2 题

Question

存在实数

x

和

y

，且二者都大于

1

，使得

\log_x\left(y^x\right) = \log_y\left(x^{4y}\right) = 10

。求

xy

。

There exist real numbers

x

and

y,

both greater than

1,

such that

\log_x\left(y^x\right) = \log_y\left(x^{4y}\right) = 10.

Find

xy.

答案

答案：25

知识点：对数代数变形

难度评级：2070

小提示：

把指数提到前面：

x \log_x y = 10

且

4y \log_y x = 10

Bring the exponents down:

x \log_x y = 10

and

4y \log_y x = 10

大提示：

将两个方程相乘；因为

\log_x y \cdot \log_y x = 1

，对数项会消失

Multiply the two equations: since

\log_x y \cdot \log_y x = 1,

the logarithms disappear

解答：

将指数从对数中提出来，条件变为

x \log_x y = 10

和

4y \log_y x = 10\text{。}

两式相乘，并使用

\log_x y \cdot \log_y x = 1

，得到

4xy = 100

，所以

xy = 25

。

这样的

x

和

y

的确存在。令

y = \frac{25}{x}

。连续函数

x\log_x(\frac{25}{x})

在

x \to 1^+

时趋于无穷大，而在

x = 2

时小于

10

。因此它在某个

1 \lt x \lt 2

处等于

10

，此时

y \gt 1

。

Pulling the exponents out of the logarithms, the conditions become

x \log_x y = 10

and

4y \log_y x = 10.

Multiplying these equations and using

\log_x y \cdot \log_y x = 1

gives

4xy = 100,

so

xy = 25.

Such

x

and

y

do exist. Set

y = \frac{25}{x}.

The continuous function

x\log_x(\frac{25}{x})

tends to infinity as

x \to 1^+,

while at

x = 2

it is less than

10.

Hence it equals

10

for some

1 \lt x \lt 2,

where

y \gt 1.

2024 AIME I 第 2 题

答案：25

难度评级：2070

小提示：

大提示：

解答：

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