2023 AIME I 第 5 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

5.

设

P

是正方形

ABCD

的外接圆上的一点，且满足

PA \cdot PC = 56

与

PB \cdot PD = 90

。求

ABCD

的面积。

Let

P

be a point on the circle circumscribing square

ABCD

that satisfies

PA \cdot PC = 56

and

PB \cdot PD = 90.

Find the area of

ABCD.

答案

答案：106

知识点：圆坐标几何三角恒等式

难度评级：2400

小提示：

把圆心放在原点，令

A = (R, 0)

、

B = (0, R)

、

C = (-R, 0)

、

D = (0, -R)

，并设

P = (R\cos\theta, R\sin\theta)

。

Put the center at the origin with

A = (R, 0),

B = (0, R),

C = (-R, 0),

D = (0, -R),

and

P = (R\cos\theta, R\sin\theta).

大提示：

证明

PA \cdot PC = 2R^2|\sin\theta|

，且

PB \cdot PD = 2R^2|\cos\theta|

；一个勾股恒等式会把两个乘积联系起来。

Show

PA \cdot PC = 2R^2|\sin\theta|

and

PB \cdot PD = 2R^2|\cos\theta|;

a Pythagorean identity links the two products.

解答：

设圆心为

O

、半径为

R

，并取

A = (R, 0)

、

B = (0, R)

、

C = (-R, 0)

、

D = (0, -R)

，以及

P = (R\cos\theta, R\sin\theta)

。则

PA^2 = 2R^2(1 - \cos\theta)

，

PC^2 = 2R^2(1 + \cos\theta)

，所以

PA \cdot PC = 2R^2|\sin\theta| = 56

。同理，

PB \cdot PD = 2R^2|\cos\theta| = 90

。

两式平方后相加，得

4R^4 = 56^2 + 90^2 = 11236

，所以

2R^2 = \sqrt{11236} = 106

。正方形的对角线为

2R

，因此面积为

\frac{(2R)^2}{2} = 2R^2 = 106

。

Let the circle have center

O

and radius

R,

with

A = (R, 0),

B = (0, R),

C = (-R, 0),

D = (0, -R),

and

P = (R\cos\theta, R\sin\theta).

Then

PA^2 = 2R^2(1 - \cos\theta)

and

PC^2 = 2R^2(1 + \cos\theta),

so

PA \cdot PC = 2R^2|\sin\theta| = 56.

In the same way

PB \cdot PD = 2R^2|\cos\theta| = 90.

Squaring and adding,

4R^4 = 56^2 + 90^2 = 11236,

so

2R^2 = \sqrt{11236} = 106.

The square has diagonal

2R,

hence area

\frac{(2R)^2}{2} = 2R^2 = 106.