Question

对每个满足 $\begin{aligned} &\log_2(2x + y) \\ &= \log_4(x^2 + xy + 7y^2), \end{aligned}$ 的实数有序对 $(x, y)$ ，都存在一个实数 $K$ ，使得 $\begin{aligned} &\log_3(3x + y) \\ &= \log_9(3x^2 + 4xy + Ky^2). \end{aligned}$ 求所有可能的 $K$ 的乘积。

For each ordered pair of real numbers $(x, y)$ satisfying $\begin{aligned} &\log_2(2x + y) \\ &= \log_4(x^2 + xy + 7y^2), \end{aligned}$ there is a real number $K$ such that $\begin{aligned} &\log_3(3x + y) \\ &= \log_9(3x^2 + 4xy + Ky^2). \end{aligned}$ Find the product of all possible values of $K.$

答案

答案：189

知识点：对数因式分解分类讨论

难度评级：2510

解答：

因为 $\log_4 u = \log_2 \sqrt{u}$ ，第一个方程等价于 $(2x + y)^2 = x^2 + xy + 7y^2$ ，并且 $2x + y \gt 0$ 。展开得 $3x^2 + 3xy - 6y^2 = 0$ ，分解为 $3(x - y)(x + 2y) = 0$ 。所以 $x = y$ 或 $x = -2y$ ，且 $(x, y) \ne (0, 0)$ 。

同理，第二个方程说明 $(3x + y)^2 = 3x^2 + 4xy + Ky^2$ ，也就是 $6x^2 + 2xy + y^2 = Ky^2$ 。若 $x = y$ （取 $x \gt 0$ 使两个对数都有定义），则 $K = 6 + 2 + 1 = 9$ 。若 $x = -2y$ （取 $y \lt 0$ ，使 $2x + y = -3y \gt 0$ 且 $3x + y = -5y \gt 0$ ），则 $24y^2 - 4y^2 + y^2 = Ky^2$ ，所以 $K = 21$ 。

两种情况都可以发生，所以所有可能值的乘积为 $9 \cdot 21 = 189$ 。

Because $\log_4 u = \log_2 \sqrt{u},$ the first equation is equivalent to $(2x + y)^2 = x^2 + xy + 7y^2$ together with $2x + y \gt 0.$ Expanding gives $3x^2 + 3xy - 6y^2 = 0,$ which factors as $3(x - y)(x + 2y) = 0.$ So $x = y$ or $x = -2y,$ with $(x, y) \ne (0, 0).$

Similarly the second equation says $(3x + y)^2 = 3x^2 + 4xy + Ky^2,$ that is $6x^2 + 2xy + y^2 = Ky^2.$ If $x = y$ (taking $x \gt 0$ so both logarithms are defined), then $K = 6 + 2 + 1 = 9.$ If $x = -2y$ (taking $y \lt 0,$ so $2x + y = -3y \gt 0$ and $3x + y = -5y \gt 0$ ), then $24y^2 - 4y^2 + y^2 = Ky^2,$ so $K = 21.$

Both cases occur, so the product of all possible values is $9 \cdot 21 = 189.$

2018 AIME I 第 5 题

答案：189

难度评级：2510

解答：

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