Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AB = AC = 10$ ，且 $BC = 12$ 。点 $D$ 严格位于 $\overline{AB}$ 上 $A$ 与 $B$ 之间，点 $E$ 严格位于 $\overline{AC}$ 上 $A$ 与 $C$ 之间，并且 $AD = DE = EC$ 。则 $AD$ 可写成 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 与 $q$ 是互质正整数。求 $p + q$ 。

In $\triangle ABC,$ $AB = AC = 10$ and $BC = 12.$ Point $D$ lies strictly between $A$ and $B$ on $\overline{AB}$ and point $E$ lies strictly between $A$ and $C$ on $\overline{AC}$ so that $AD = DE = EC.$ Then $AD$ can be expressed in the form $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

答案

答案：289

知识点：余弦定理等腰三角形

难度评级：2410

解答：

在 $\triangle ABC$ 中由余弦定理， $\begin{aligned} \cos A &= \frac{10^2 + 10^2 - 12^2}{2 \cdot 10 \cdot 10} \\ &= \frac{56}{200} = \frac{7}{25}. \end{aligned}$

设 $x = AD = DE = EC$ ，则 $AE = 10 - x$ 。在 $\triangle ADE$ 中用余弦定理： $\begin{aligned} &x^2 = x^2 + (10 - x)^2 \\ &\quad {}- 2x(10 - x)\cdot\frac{7}{25}, \end{aligned}$ 所以 $(10 - x)^2 = \frac{14}{25}\,x(10 - x)$ 。因为 $x \lt 10$ 可除以 $10 - x$ ，得 $10 - x = \frac{14x}{25}$ ，于是 $250 = 39x$ ， $x = \frac{250}{39}$ 。

由于 $\gcd(250, 39) = 1$ ，答案是 $250 + 39 = 289$ 。

By the law of cosines in $\triangle ABC,$ $\begin{aligned} \cos A &= \frac{10^2 + 10^2 - 12^2}{2 \cdot 10 \cdot 10} \\ &= \frac{56}{200} = \frac{7}{25}. \end{aligned}$

Let $x = AD = DE = EC,$ so $AE = 10 - x.$ The law of cosines in $\triangle ADE$ gives $\begin{aligned} &x^2 = x^2 + (10 - x)^2 \\ &\quad {}- 2x(10 - x)\cdot\frac{7}{25}, \end{aligned}$ so $(10 - x)^2 = \frac{14}{25}\,x(10 - x).$ Since $x \lt 10,$ we may divide by $10 - x$ to get $10 - x = \frac{14x}{25},$ hence $250 = 39x$ and $x = \frac{250}{39}.$

As $\gcd(250, 39) = 1,$ the answer is $250 + 39 = 289.$

2018 AIME I 第 4 题

答案：289

难度评级：2410

解答：

其他年份的第 4 题