Question

求小于 $2017$ 的正整数 $n$ 的个数，使得 $\begin{aligned} &1 + n + \frac{n^2}{2!} + \frac{n^3}{3!} + \frac{n^4}{4!} \\ &{}+ \frac{n^5}{5!} + \frac{n^6}{6!} \end{aligned}$ 是整数。

Find the number of positive integers $n$ less than $2017$ such that $\begin{aligned} &1 + n + \frac{n^2}{2!} + \frac{n^3}{3!} + \frac{n^4}{4!} \\ &{}+ \frac{n^5}{5!} + \frac{n^6}{6!} \end{aligned}$ is an integer.

答案

答案：134

知识点：整除性模运算阶乘分类讨论

难度评级：2840

解答：

乘以 $6! = 720$ 后，原和为整数当且仅当 $\begin{aligned} &720 \mid n^6 + 6n^5 + 30n^4 \\ &{}+ 120n^3 + 360n^2. \end{aligned}$ 如果 $n$ 是奇数，除 $n^6$ 外每一项都是偶数，总和为奇数。若 $3 \nmid n$ ，则模 $3$ 时除 $n^6$ 外每一项都为零，而 $n^6 \equiv 1 \pmod 3$ 。所以 $n$ 必须是 $6$ 的倍数。

写 $n = 6k$ 。此时 $30n^4 = 720 \cdot 54k^4$ ， $120n^3 = 720 \cdot 36k^3$ ，且 $360n^2 = 720 \cdot 18k^2$ 都能被 $720$ 整除；而 $n^6 + 6n^5 = 6^6 k^5(k + 1)$ 。由于 $6^6 = 2^6 3^6$ 已经提供了 $720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$ 中的 $2^4$ 和 $3^2$ ，条件化为 $5 \mid k(k + 1)$ ，即 $k \equiv 0$ 或 $4 \pmod 5$ 。

对 $n = 6k \lt 2017$ ，需要 $1 \le k \le 336$ 。这个范围内有 $67$ 个 $5$ 的倍数，也有 $67$ 个满足 $k \equiv 4 \pmod 5$ 的数，所以这样的 $n$ 共有 $67 + 67 = 134$ 个。

Multiplying by $6! = 720,$ the sum is an integer exactly when $\begin{aligned} &720 \mid n^6 + 6n^5 + 30n^4 \\ &{}+ 120n^3 + 360n^2. \end{aligned}$ If $n$ were odd, every term except $n^6$ would be even, making the total odd. If $3 \nmid n,$ then modulo $3$ every term except $n^6$ vanishes while $n^6 \equiv 1 \pmod 3.$ So $n$ must be a multiple of $6.$

Write $n = 6k.$ Then $30n^4 = 720 \cdot 54k^4,$ $120n^3 = 720 \cdot 36k^3,$ and $360n^2 = 720 \cdot 18k^2$ are all divisible by $720,$ while $n^6 + 6n^5 = 6^6 k^5(k + 1).$ Since $6^6 = 2^6 3^6$ supplies the factors $2^4$ and $3^2$ of $720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5,$ the condition reduces to $5 \mid k(k + 1),$ that is, $k \equiv 0$ or $4 \pmod 5.$

For $n = 6k \lt 2017$ we need $1 \le k \le 336.$ That range contains $67$ multiples of $5$ and $67$ values with $k \equiv 4 \pmod 5,$ so there are $67 + 67 = 134$ such $n.$

2017 AIME II 第 8 题

答案：134

难度评级：2840

解答：

其他年份的第 8 题