Question

一个以八为底写出的有理数为 $\underline{a}\,\underline{b}.\underline{c}\,\underline{d}$ ，其中所有数字都非零。同一个数以十二为底表示为 $\underline{b}\,\underline{b}.\underline{b}\,\underline{a}$ 。求按通常十进制写法得到的数 $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ 。

A rational number written in base eight is $\underline{a}\,\underline{b}.\underline{c}\,\underline{d},$ where all digits are nonzero. The same number in base twelve is $\underline{b}\,\underline{b}.\underline{b}\,\underline{a}.$ Find the base-ten number $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}.$

答案

答案：321

知识点：进制位值分类讨论

难度评级：2400

解答：

整数部分必须相等： $8a + b = 12b + b$ ，所以 $8a = 12b$ ，也就是 $2a = 3b$ 。因为 $a$ 和 $b$ 都是以八为底的非零数字，至多为 $7$ ，唯一的可能是 $(a, b) = (3, 2)$ 和 $(6, 4)$ 。

小数部分也必须相等： $\frac{c}{8} + \frac{d}{64} = \frac{b}{12} + \frac{a}{144}$ ，即 $\frac{8c + d}{64} = \frac{12b + a}{144}$ 。若 $(a, b) = (6, 4)$ ，右边为 $\frac{54}{144} = \frac{24}{64}$ ，迫使 $8c + d = 24$ ，但不存在两个非零且小于 $8$ 的数字满足它。若 $(a, b) = (3, 2)$ ，右边为 $\frac{27}{144} = \frac{12}{64}$ ，所以 $8c + d = 12$ ，得到 $c = 1$ 且 $d = 4$ 。

的确， $32.14_{\text{eight}} = 22.23_{\text{twelve}}$ ，所求数字 $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ 为 $321$ 。

The integer parts must be equal: $8a + b = 12b + b,$ so $8a = 12b,$ that is $2a = 3b.$ Since $a$ and $b$ are nonzero base-eight digits (at most $7$ ), the only options are $(a, b) = (3, 2)$ and $(6, 4).$

The fractional parts must also match: $\frac{c}{8} + \frac{d}{64} = \frac{b}{12} + \frac{a}{144},$ i.e. $\frac{8c + d}{64} = \frac{12b + a}{144}.$ For $(a, b) = (6, 4)$ the right side is $\frac{54}{144} = \frac{24}{64},$ forcing $8c + d = 24,$ which has no solution with both digits nonzero and less than $8.$ For $(a, b) = (3, 2)$ the right side is $\frac{27}{144} = \frac{12}{64},$ so $8c + d = 12,$ giving $c = 1$ and $d = 4.$

Indeed $32.14_{\text{eight}} = 22.23_{\text{twelve}},$ and the requested number $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ is $321.$

2017 AIME I 第 5 题

答案：321

难度评级：2400

解答：

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