2016 AIME I 第 11 题

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11.

设

P(x)

是一个非零多项式，满足对每个实数

x

都有

(x - 1)P(x + 1) = (x + 2)P(x)

，并且

\left(P(2)\right)^2 = P(3)

。那么

P\left(\tfrac{7}{2}\right) = \tfrac{m}{n}

，其中

m

和

n

是互质的正整数。求

m + n

。

Let

P(x)

be a nonzero polynomial such that

(x - 1)P(x + 1) = (x + 2)P(x)

for every real

x,

and

\left(P(2)\right)^2 = P(3).

Then

P\left(\tfrac{7}{2}\right) = \tfrac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

答案

答案：109

知识点：多项式函数方程换元法

难度评级：2990

小提示：

代入

x = 1

、

x = 0

和

x = -2

，找出

P

的三个根

Substitute

x = 1,

x = 0,

and

x = -2

to find three roots of

P

大提示：

写作

P(x) = x(x - 1)(x + 1)L(x)

会迫使

L(x + 1) = L(x)

，所以

L

是常数；再由

\left(P(2)\right)^2 = P(3)

求出它

Writing

P(x) = x(x - 1)(x + 1)L(x)

forces

L(x + 1) = L(x),

so

L

is a constant; find it from

\left(P(2)\right)^2 = P(3)

解答：

在恒等式中令

x = 1

，得到

0 = 3P(1)

，所以

P(1) = 0

。令

x = 0

，得到

-P(1) = 2P(0)

，所以

P(0) = 0

；令

x = -2

，得到

-3P(-1) = 0

，所以

P(-1) = 0

。因此

P(x) = x(x - 1)(x + 1)L(x)

，其中

L

是某个多项式。

代回原式，

(x - 1)\,(x + 1)x(x + 2)L(x + 1)

= (x + 2)\,x(x - 1)(x + 1)L(x)

，所以对所有实数

x

有

L(x + 1) = L(x)

，这迫使

L

为常数

c

。标准化条件

\left(P(2)\right)^2 = P(3)

化为

(6c)^2 = 24c

，所以

c = \frac{2}{3}

。

因此

P\left(\tfrac{7}{2}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{9}{2} = \frac{105}{4}\text{，}

并且

m + n = 105 + 4 = 109

。

Setting

x = 1

in the identity gives

0 = 3P(1),

so

P(1) = 0.

Setting

x = 0

gives

-P(1) = 2P(0),

so

P(0) = 0,

and setting

x = -2

gives

-3P(-1) = 0,

so

P(-1) = 0.

Hence

P(x) = x(x - 1)(x + 1)L(x)

for some polynomial

L.

Substituting back,

(x - 1)\,(x + 1)x(x + 2)L(x + 1)

= (x + 2)\,x(x - 1)(x + 1)L(x),

so

L(x + 1) = L(x)

for all real

x,

which forces

L

to be a constant

c.

The normalization

\left(P(2)\right)^2 = P(3)

reads

(6c)^2 = 24c,

so

c = \frac{2}{3}.

Then

P\left(\tfrac{7}{2}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{9}{2} = \frac{105}{4},

and

m + n = 105 + 4 = 109.