Question

设 $a$ 和 $b$ 是满足 $\frac{ab + 1}{a + b} \lt \frac{3}{2}$ 的正整数。 $\frac{a^3 b^3 + 1}{a^3 + b^3}$ 的最大可能值为 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质正整数。求 $p + q$ 。

Let $a$ and $b$ be positive integers satisfying $\frac{ab + 1}{a + b} \lt \frac{3}{2}.$ The maximum possible value of $\frac{a^3 b^3 + 1}{a^3 + b^3}$ is $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

答案

答案：36

知识点：不等式西蒙最爱的因式分解技巧小情形

难度评级：2650

解答：

若 $a = 1$ 或 $b = 1$ ，则 $\frac{a^3b^3 + 1}{a^3 + b^3} = 1$ 。因此设 $a, b \ge 2$ 。清除分母后，假设条件为 $2ab + 2 \lt 3a + 3b$ ，两边乘以 $2$ 并整理，得到 $\begin{aligned} &(2a - 3)(2b - 3) \\ &= 4ab - 6a - 6b + 9 \lt 5. \end{aligned}$

对 $a, b \ge 2$ ，两个因子都是正奇数，所以不计对称，唯一的可能为 $(a, b) = (2, 2)$ 和 $(2, 3)$ ；它们都满足原不等式，而 $(3, 3)$ 会给出乘积 $9$ 。

对 $(2, 2)$ ，表达式值为 $\frac{65}{16}$ ；对 $(2, 3)$ 值为 $\frac{8 \cdot 27 + 1}{8 + 27} = \frac{217}{35} = \frac{31}{5}$ 。较大者是 $\frac{31}{5}$ ，所以 $p + q = 31 + 5 = 36$ 。

If $a = 1$ or $b = 1,$ then $\frac{a^3b^3 + 1}{a^3 + b^3} = 1.$ So assume $a, b \ge 2.$ Clearing denominators, the hypothesis says $2ab + 2 \lt 3a + 3b,$ and multiplying by $2$ and rearranging gives $\begin{aligned} &(2a - 3)(2b - 3) \\ &= 4ab - 6a - 6b + 9 \lt 5. \end{aligned}$

For $a, b \ge 2$ both factors are positive odd integers, so up to symmetry the only options are $(a, b) = (2, 2)$ and $(2, 3)$ (both of which do satisfy the original inequality, while $(3, 3)$ gives the product $9$ ).

The values are $\frac{65}{16}$ for $(2, 2)$ and $\frac{8 \cdot 27 + 1}{8 + 27} = \frac{217}{35} = \frac{31}{5}$ for $(2, 3).$ The larger is $\frac{31}{5},$ so $p + q = 31 + 5 = 36.$

2015 AIME II 第 8 题

答案：36

难度评级：2650

解答：

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